Тема 4. Неопределенный интеграл

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. ХIII.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 6.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. VII.

Примеры решения задач

Задача 15. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, а затем применяем свойства неопределенного интеграла и табличные интегралы

и .

Получаем:

= = = =

= = = .

Задача 16. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному , положим , тогда . Произведем замену в подынтегральном выражении

= = .

Задача 17. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим . Тогда или . Отсюда . Выполнив замену в подынтегральном выражении, получаем

= = = = = = .

Задача 18. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим . Тогда или . Выполнив некоторые преобразования подынтегрального выражения, произведем замену переменной:

= = = .

Задача 19. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному , положим , тогда или . Заметив, что числитель подынтегрального выражения отличается от дифференциала переменной t лишь на постоянный множитель, произведем замену

= = = = .

Задача 20. Найти интеграл .

Решение. Для нахождения данного интеграла применим формулу интегрирования по частям: .

Положим , . Тогда , .

Отсюда

.

В интеграле применим подстановку , откуда

, или . Следовательно,

= = = .

Окончательно имеем: .

Задача 21. Найти интеграл .

Решение. Для нахождения данного интеграла также используем формулу интегрирования по частям. Положим u=x² и dv=sinxdx. Тогда du=2xdx и . Отсюда

= -x²cosx + = -x²cosx + .

Для нахождения опять воспользуемся методом интегрирования по частям, положив u=x, а dv=cosx dx. Тогда du=dx и v=sinx. Окончательно получим

=

Задача 22. Найти интеграл .

Решение. Применяя метод интегрирования по частям, положим u=sin2x, dv=e^x dx. Тогда du=2cos2x dx и v=e^x. Получим

=

Для нахождения применим метод интегрирования по частям еще раз, положив u=cos2x, dv=e^x dx. Тогда du=-2sin2x dx и v=e^x. Получим:

=

Или:

=

Выразим искомый интеграл из полученного равенства и добавим константу интегрирования:

+ 4 =

5 =

= .

Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется первообразной для данной функции?

2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

3. В чем сущность интегрирования методом замены переменной?

4. Выведите формулу интегрирования по частям.