Вопросы для самопроверки.
1. Дайте определение определенного интеграла от данной функции на заданном отрезке?
2. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.
4. Сформулируйте свойства определенного интеграла.
5. В чем состоит суть способа подстановки для вычисления определенного интеграла?
6. Напишите формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла?
Задания для контрольных работ Контрольная работа №1
В задачах 1 – 10 даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется найти: 1) периметр треугольника; 2) уравнения сторон в общем виде; 3) внутренний угол А в радианах; 4) координаты точки пересечения медиан; 5) уравнение высоты АD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС; 7) составить систему неравенств, задающих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.
1. А(1; 2), В(13; – 7), С(11; 7). 2. А(-3; 1), В(9; – 8), С(7; 6).
3. А(–1; 3), В(11; – 6), С (9; 8). 4. А(0; – 1), В(12; –10), С(10; 4).
5. А(2; 4), В(14; – 5), С (12; 9). 6. А(3; 0), В(15; – 9), С(13; 5).
7. А(–5; 6), В(7; – 3), С(5; 11). 8. А(-8; 5), В(4; – 4), С(2; 10).
9. А(–4; –2), В(8; –11), С(6; 3). 10. А(4; 9), В(16; 0), С(11; 7).
В задачах 21-30 найти указанные пределы:
11.
а)
;
б)
;
в)
.
12.
а)
;
б)
;
в)
.
13.
а)
;
б)
;
в)
.
14.
а)
;
б)
;
в)
.
15.
а)
;
б)
;
в)
.
16.
а)
;
б)
;
в)
.
17.
а)
;
б)
;
в)
.
18.
а)
;
б)
;
в)
.
19.
а)
;
б)
;
в)
.
20.
а)
;
б)
;
в)
.
В задачах 21-30 найти производные функции:
21.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
22.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
23.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
24.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
25.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
+4
= 0.
26.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
27.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
28.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
29.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
30. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
В задачах 31 – 40 требуется исследовать данные функции и построить их графики. Исследование функции предусматривает нахождение области определения, точек экстремума, интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.
31. у = 2х3 – 3х2 – 6х + 4. 32. у = х3 – 3х2 + 9х – 5.
33. у = 1 + 3х2 – х3. 34. у = 2х3 + 3х2 – 6х – 3.
35. у = 4х3 – 6х2 + 5. 36 у = 3х – 4 – х3 .
37. у = х3 – 6х2 + 9х - 3. 37. у = 2х3 – 6х2 + 12х – 12.
39. у = 3 – х3 – 3х2. 40. у = 2х3 + 9х2 + 6х – 4.
41. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 64 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
42. Каковы должны быть радиус основания и высота открытого бака объемом 27 м3, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество листового материала?
43. Из круглого бревна диаметра 40 см следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна аb2 (a, b – измерения сечения балки в сантиметрах). При каких значениях a и b прочность балки будет наибольшей?
44. Найдите, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости V будет наименьшим.
45. Сечение детали имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения 18 см. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
46. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
47. Деталь из листового железа имеет форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
48. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, длина которой 72 м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была наибольшей?
49. Из прямоугольного листа жести размером 24 9 требуется изготовить открытую коробку, вырезая по краям листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?
50.
Требуется изготовить полотняный шатер,
имеющий форму прямого кругового конуса
заданной вместимости
м3.
Каковы должны быть размеры конуса
(высота и радиус основания), чтобы на
шатер ушло наименьшее количество
полотна?