5.6. Методы Гира

Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у₁, у₂, y₃ задачи Кошив точках .

(5.31)

В окрестностях узлов искомое решение у(х) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона четвертой степени, аналогичным (5.26):

, (5.32)

где — разделенные разности первого — четвертого по­рядков.

Левую часть уравнения (5.31) приближенно найдем путем дифференцирования по х полинома (5.32):

. (5.33)

Разделенные разности для равноотстоящих узлов выражаются че­рез узловые значения аппроксимируемой функции:

(5.34)

где .

Полагая в выражении для производной (5.33) значение аргумента и учитывая значения разделенных разностей (5.34), получим

(5.35)

С другой стороны, уравнение (5.31) при принимает вид

(5.36)

Приравняем правые части соотношений (5.35), (5.36) и найдем

. (5.37)

Формула (5.37) представляет собой неявную схему Гира четвертого порядка для решения задачи Коши [1, 24]. Изменяя количество узлов можно аналогичным способом получить формулы Гира как более низких, так и более высоких порядков. В табл. 5.3 приведены формулы методов Гира от первого до шестого порядка.

Неявные алгоритмы Гира наиболее эффективны для решения так называемых жестких уравнений, особенностью которых является мед­ленное изменение их решений при наличии быстро затухающих возму­щений [1, 25]. Жесткими уравнениями моделируются процессы в нели­нейных электрических цепях, и применение неявных методов уменьша­ет на несколько порядков время интегрирования по сравнению с явны­ми методами [24,26].

Таблица 5.3. Методы Гира

Порядок	Алгоритмы	Локальная погрешность
1	2	3
Первый
Второй
Третий
Четвертый	+
Пятый	+
Шестой	+

Для нахождения значения из уравнения (5.37) можно применить метод простых итераций, однако для реализации достоинств неявного метода в отношении выбора шага при интегрировании жестких урав­нений в [24] рекомендуется использовать метод Ньютона. Для любого из выбранных методов требуется знать начальное приближение к ис­комой величине у₄. Полагая в выражении для производной (5.33) зна­чение аргумента х = х₃ ,будем иметь

. (5.38)

Приравнивая правые части исходного уравнения (5.31) при х = х₃ и выражения (5.38), получим схему прогноза, с помощью которой можно найти начальное приближение для решения уравнения (5.37):

.

5.7. Понятие о методах обратного дифференцирования

На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткости. Такие процессы описываются функциями двух видов: функциями с большими по модулю производнымии и функциями с малыми по модулю производными, причем функции с большими производными быстро убывают. Такие задачи часто встречаются при исследовании динамических систем в электротехнике, в механике сплошной среды, в теории управления и т.д. Для жестких систем, как правило, существуют два участка решения с существенно различным характером поведения его составляющих, причем длина первого участка, называемогно пограничным слоем, значительно больше длины второго. Необходимость выделения таких уравнений в отдельный класс вызвана трудностями, которые встречаются при их численном интегрировании традиционными методами, например, явными типа Рунге-Кутта, Адамса. Для численного воспроизведения быстропротекающих процессов в пограничном слое необходим малый шаг интегрирования, однако, вне пограничного слоя, где существенны функции с малыми производными, увеличение шага приводит к резкому возрастанию погрешности, влекущему за собой качественное изменение поведения решения. Описанное явление происходит потому, что указанные методы обладают, как уже отмечалось выше, ограниченной областью устойчивости.

Это, прежде всего, многозначный жестко-устойчивый метод Гира переменного порядка и его усовершенствование – метод BDF (BackwordDifferentiationFormula), рефлизованного в работах A.C. Hindmarsh. Этот метод называют также методом обратного дифференцирования или формулами дифференцирования назад. Скуществует также устойчивый неявный метод Рунге-Кутта, а для сильно жестких систем – экспоненциальный метод, основанный на представлении рещения линейной однлродной системы с постоянными коэффициентами в виде матричной экспоненты.

Рассмотрим более подробно основы метода обратного дифференцирования.

Для kточек(t_j-k+1; x_j-k+1),(t_j-k+2; x_j-k+2), …, (t_j; x_j) и точки (t_j+1; x_j+1) строится интерполяционный полином k-того порядка, с помощью которого описывается функция x=f(t). В крнце интервала интерполяций, в точке (t_j+1; x_j+1), производная функций вычисляется с помощью формулы обратного дифференцирования (BDF метод).

Формула обратного дифференцирования в случае k =2 (степень интерполяционного полинома k называется порядком BDF-метода) может быть получена следующим образом.

Для производной от x=f(t)в момент времени t_j+1:

При этом на каждом интервале шаг

h=t_j+1-t_j=t_j-t_j-1 (5.40)

Для вычисления коэффициентов α₀,…, α_kнеобходимо упорядочить интерполяционный полином x(t)второго порядка по степеням, представив его следующим образом:

(5.41)

В момент времени t_j+1производная

(5.42)

Согласно (5.41), значения функции x(t) для моментов времени t_j+1,t_j,t_j-1 равны соответственно x_j+1=β₀, x_j = β₀+ β₁+ β₂. x_j-1= β₀+ 2β₁+ 4β₂.Подставив эти значения в (5.39), можно записать:

После преобразований

Искомые коэффициенты α теперь могут быть определены из уравнений

Решение этой системы уравнений таково:

α₀ = -1,5; α₁ = 2; α₂ = -0,5.

Для любого значения порядка k уравнение (5.39) в общем случае может быть представлено в виде:

(5.44)

Коэффициенты α₀, …, α_kявляются решениями системыk+1линейных уравнений. Искомые коэффициенты теперь могут быть определены из уравнений

(5.45)

Результаты расчета коэффициентов для значений kот 1 до 6 приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4. Коэффициентиы формулы обратного дифференцирования

k	α0	α1	α2	α3	α4	α5	α6
1	-1	1	-	-	-	-	-
2		2		-	-	-	-
3		3			-	-	-
4		4	-3			-	-
5		5	-5				-
6		6