1.2.1. Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду

Алгоритм решения заключается в последовательном вычислении начиная с некоторого начального приближения , пока будет:

- выполнено условие где - заданная точность расчета, т.е. получено некоторое решение;

- зарегистрирован факт расходимости итерационного процесса;

- привышенно заданное предельное количество итераций.

Необходим глубокий анализвида систем W(X)=0 в каждом отдельном случае с точки зрения сходимости метода, возможности получения желаемого решения с требуемой точностью, в лучшем случае, линейно сходящимися.

В качестве вариантов метода последовательных приближений можно указать рассмотренные методы простой и ускоренный (метод Зейделя) итерации, модифицированные с учетом нелинейности решаемой задачи.

1.2.2. Метод Ньютона

Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.

Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Итерация метода Ньютона для

Поскольку , гдеx₀— начальное приближение, то и

можно получить новое приближение .Продолжая итерационный про-цесс, можно с требуемой точно­стью риблизиться к одному из решений, например, = 1,73205...

Расчетная формула для метода Ньютона может быть получена, ес­ли представить w(x) в окрестности текущего приближения х_k в виде ряда Тейлора

и ограничиться линейными членами, тогда в матричной форме получим

где

Применительно к СНАУ W(X) = 0 получим следующий алгоритм:

1. Выбрать начальный вектор положить k = 0, =

2. Вычислить вектор . Если все < , где — за­данная точность расчета, то получено решение, расчет окончен..

Если k>1 и max , то итерационныйпроцесс расходится, расчет завершить аварийно.

3. Построить матрицу Якоби

и вычислить значения всех производных в точке

4) Решить систему уравнений, определив вектор поправок АХ^(k):

5) Вычислить новое приближение

и положить k= k + 1.

6. Если k>k_тax,, где k_max — заданное предельное число итераций, то аварийно завершить расчет, иначе перейти к п. 2.

7. Конец алгоритма.

Метод Ньютона при начальном приближении, близком к некото­рому решению, часто обладает устойчивой квадратичной сходимостью. При плохой начальной точке имеет место расходящийся итераци­онный процесс. Метод Ньютона расходится, если матрица Якоби пло­хо обусловлена в окрестности решения. Часто перед использованием метода Ньютона выполняют несколько итераций, например методом последовательных приближений, для того чтобы иметь "хорошее" на­чальное приближение.

В качестве косвенного критерия расходимости итерационного про­цесса можно использовать изменение знака якобиана — определите­ля матрицы Якоби. Однако это условие будучи достаточным, не явля­ется необходимым. Якобиан может быть вычислен, как побочный про­дукт решения методом Гаусса системы из п. 3 алгоритма.