7.2. Степенные ряды

Ряд называется степенным, если его члены степенные функции. Он имеет вид

а₀ + а₁х + а₂х² + … + а_nхⁿ +… .

подставляя х = х₀ получим числовой ряд для которого можно решить вопрос о сходимости. Множество всех значений переменной х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости любого степенного ряда является симметричный интервал ]-R, R[ относительно начала координат. Внутри этого интервала степенной ряд сходится, вне его – расходится, а на границах интервала нужно исследовать сходимость ряда в каждом конкретном случае. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда и вычисляется по формуле

.

Если предел существует и конечен, то интервалом сходимости будет ]-R, R[. Если предел равен нулю, то ряд сходится только в точке х = 0. Если предел равен бесконечности, то область сходимости - вся числовая ось.

Пример. Найти интервал сходимости и исследовать сходимость ряда на концах интервала

.

Решение. Коэффициенты n – го и (n + 1)-го членов ряда

.

Вычисляем радиус сходимости ряда

Таким образом, интервал сходимости ]-10, 10[. Чтобы решить вопрос о сходимости ряда на концах интервала, подставим в исходный ряд значения х = -10 и х = 10.

а) Пусть х = 10, тогда ряд принимает вид

.

Сходимость ряда исследуем по интегральному признаку:

f(x) = ; .

Так как интеграл равен числу, то ряд сходится.

б) Пусть х = -10, тогда ряд принимает вид

.

Получили знакочередующийся ряд. Выше было показано, что ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Значит, данный ряд – абсолютно сходящийся.

Таким образом, в интервал сходимости входят оба конца интервала.

Ответ: область сходимости [-10, 10].

7.3. Разложение функции в степенной ряд

Если функция дифференцируема n раз в интервале (а, х), то имеет место формула Тейлора

где остаточный член в форме Лагранжа и число с = а + (х - а), где 0 <  < 1. Если,

то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) в ряд по степеням (х - а), называемый рядом Тейлора:

Отсюда, положив а = 0, получим разложение функции в ряд Маклорена:

Из формулы Тейлора следует, что стремление к нулю остаточного члена при n   служит необходимым и достаточным условием того, что ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f(x) сходится к этой функции, а стремление к нулю остаточного члена служит необходимым и достаточным условием разложения бесконечно дифференцируемой функции f(x) в ряд Маклорена, сходящийся к этой функции.

8. Дифференциальные уравнения

При проведении научных исследований не всегда можно установить непосредственно характер зависимости между переменными х и у, но можно определить зависимость между х и у, у,…,у⁽ⁿ⁾. Уравнение вида F(x, y ,у, …, у⁽ⁿ⁾) = 0, связывающее независимую переменную х с искомой функцией у и ее производными у, …, у⁽ⁿ⁾, называются дифференциальными. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Например, у = 2x - дифференциальное уравнение первого порядка; y + у - x = 0 - дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция (x), которая удовлетворяет данному уравнению, т.е. при подстановке y, у = (x), …, y⁽ⁿ⁾ = ⁽ⁿ⁾ уравнение превращается в тождество. Методы решения дифференциальных уравнений тесно связаны с порядком уравнения и видом зависимости между переменными.