Основные определения и формулы

1. Множества

Обычно говорят о множестве как о совокупности объектов, называемых элементами множества, наделённых определёнными общими свойствами.  Например, Бертран Расселл дал такое описание: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Для обозначения факта, что объект а принадлежит множеству А, пишут и говорят « принадлежит А». Множество называется пустым Ǿ, если оно не содержит ни одного элемента.

  Выделяют следующие способы задания множеств: перечислением всех элементов множества: заданием общей характеристики (общих свойств) элементов множества:

Над множествами можно проводить операции: объединение, пересечение, и разность.

 Объединение множеств  А и В (пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В.

Пересечение множеств  А и В (пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А и В.

Разность множеств А и В (пишется  А \ В ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Если обозначим через число элементов множества А, число элементов множества В, то число элементов в объединении множеств А и В вычисляется по формуле:

Для трех множеств А, В, С аналогичная формула имеет вид:

2. Процент

Процентом (от лат. рro cеnto – сотая доля) называется сотая доля числа. Так, запись 1% означает, что необходимо найти часть изучаемого объекта. Чтобы найти указанный процент от заданного числа, надо заданное число умножить на указанное число процентов, а затем произведение разделить на 100.

Задачи на множества

1.1. В группе 30 студентов, 16 из них занимаются музыкой, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой, и теннисом. Есть ли в группе студенты, равнодушные и к музыке, и к теннису, и если есть, то сколько их?

1.2. В учебной группе из 40 курсантов 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только 5 не умеют ни того ни другого. Сколько курсантов умеют плавать и играть в шахматы?

1.3. На первом курсе университета 1500 студентов, из которых 1050 изучают английский язык, 675 студентов изучают немецкий язык и 345 студентов изучают оба языка. Сколько студентов не изучают ни английский, ни немецкий языки?

1.4. В одном из годов Украины 90% жителей говорят по-русски, 80% – по-украински, часть говорит и по-русски, и по-украински. Какой процент жителей города говорит на обоих языках?

1.5. В спортивном магазине за месяц было куплено 1000 пар лыж, 500 пар ботинок и 500 пар лыжных палок. При этом 400 пар лыж куплено вместе с ботинками, 300 пар лыж – вместе с палками, 200 пар ботинок – вместе с палками, а 100 пар лыж – вместе с ботинками и палками. Сколько покупателей сделали эти покупки?

1.6. В олимпиаде по информатике и математике принимали участие 40 студентов университета. Им было предложено решить одно задание по информатике, одно по правовой информатике и одно по правовой статистике. Результаты таковы: количество решивших по информатике 20, по правовой информатике 18, по правовой статистике 18, по информатике и правовой информатике 7, по информатике и по правовой статистике 8, по правовой информатике и по правовой статистике 9. Известно также, что ни одного задания не решили трое. Сколько студентов решили все три задания? Сколько студентов решили ровно 2 задания?

1.7. На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, а по стереометрии – 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Задачи на проценты и доли (части)

1.8. Зарегистрировано 500 преступлений. Доля бандитизма оказалась равной 1%, грабежей – 5%, краж – 50%, хулиганств – 7%, поджогов – 0,6%. Рассчитайте число каждого деяния.

1.9. Выплаченная сумма в размере 37 500 рублей составляет 0,75 предъявляемого иска. Чему равны сумма всего иска и сумма оставшегося долга?

1.10. В Свердловском административном округе зарегистрировано 500 правонарушений за месяц, из которых 400 – административные. Какова доля и процент административных правонарушений в общем их числе?

1.11. На территории n-го УВД в марте было совершено 360 правонарушений. В апреле правонарушения составили 110% от марта. Сколько правонарушений было в апреле?

1.12. По статистике рецидивная преступность по определенному ее виду составляет 40%. Найти, сколько осужденных из 1200 могут стать рецидивистами.

1.13. Как правило, по преступлениям небольшой и средней категорий тяжести рецидивная преступность по амнистии составляет 60%. Найти возможное число повторно осужденных из 18000 амнистированных.

1.14. Для обеспечения охраны общественного порядка во время санкционированных шествий выделяют сотрудников УВД в количестве 10% от числа демонстрантов. При каком количестве людей на митинге могут обеспечить порядок 300 сотрудников УВД?

1.15. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на 20% и, наконец, после пересчета произвели снижение еще на 5%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

1.16. При выполнении работы по правовой статистике 12% студентов вовсе не решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько студентов было в группе?

1.17. Группа экспертов по плану должна исследовать 360 пятисотрублевых купюр, поступивших на экспертизу. В первые 8 дней они перевыполнили дневное задание на 20%. В оставшиеся дни они перевыполняли задание на 25%. В результате группа экспертов смогла дополнительно исследовать 82 купюры того же достоинства. Сколько дней работала группа экспертов.

1.18. Структура поступивших в районные суды РФ уголовных дел по итогам 1-го полугодия 2010 г. характеризуется следующими данными:

Уголовные дела	Удельный вес от всех поступивших уголовных дел, %
Всего	100
В том числе:
об убийстве	3,2
о краже	36,3
о незаконных действиях с наркотическими и психотропными веществами	8,2
о грабеже	10,6
об умышленном причинении тяжкого вреда	7
о разбое	4
о мошенничестве	3,5
дела частного обвинения	1
о неправомерном завладении транспортным средством без цели хищения	2,5
прочие	23,7

Рассчитайте количество поступивших уголовных дел по соответствующим категориям, если известно, что всего поступило 361600 уголовных дел.

Контрольные вопросы по теме 1

1. Объясните понятие множества. Приведите примеры множеств. Как обозначаются множества и их элементы? Как обозначается принадлежность элемента множеству и непринадлежность?

2. Какие существуют способы задания множеств?

3. С помощью характеристического свойства задайте конечное, бесконечное несчетное, бесконечное счетное и пустое множества.

4. Перечислите операции над множествами с приведением соответствующих диаграмм Эйлера – Венна.

5. Запишите формулы количества элементов в объединении двух и трех множеств.

6. Процент: понятие, вычисление.