7. Виды неопределенностей

Если предельные значения оказываются равными 0 или ∞, то могут возникнуть неопределенности вида: .

Соотношения вида являются примерами определенностей, так как

.

Для раскрытия неопределенностей существуют различные методы. Некоторые из них сводятся к определенным преобразованиям, другие требуют теоретического обоснования.

8. Первый и второй замечательные пределы

1-й замечательный предел: .

Означает, что sinх ~ х (эквивалентные бесконечно малые) при достаточно малых х, т.е. при х0.

Используется при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции.

Пример 1. Найти .

Решение. При подстановке x=0 получим неопределенность типа [0/0]. Чтобы воспользоваться 1-м замечательным пределом, заменим , умножим числитель и знаменатель на 3х и 5х и используем свойства пределов:

.

2-й замечательный предел: .

Если положить , то 2-й замечательный предел запишется в виде .

Число e – иррациональное; 2 < e < 3 (более точно e ≈ 2,718281…).

Пример 2. Найти .

Решение. Обозначим x=2t. Очевидно, что t при x. Имеем .

Согласно теореме о пределе сложной функции, 2-й замечательный предел можно записать в виде: .

или, если положить , то .

Пример 3. Найти предел

Решение.

9. Сравнение бесконечно малых

Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые при ха. Их частное может и не быть бесконечно малым.

Пример 1. α(х)=6х; β(х)=2х – бесконечно малые при х0.

При х0 , т.е. функция при х0 не бесконечно малая. Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной .

В зависимости от вида бесконечно малых функций символ может быть равен произвольному числу или символу ∞.

Пример 2.

Поэтому частное бесконечно малых называют неопределенностью вида , а нахождение предела этой дроби называют раскрытием неопределенности.

Определение 1. Если отношение стремится к конечному пределу, не равному нулю, то α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости.

Определение 2. Если , то α(х) и β(х) называются эквивалентными бесконечно малыми, ведут себя «одинаково» и обозначаются α(х) ~ β(х).

Например, функции ln(1 + x) и х – эквивалентные (ln(1 + x) ~ х) при х0, так как (см. пример 3 из п.8).

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Если α(х) – бесконечно малая при ха, тогда

Пример 3. .

Пример 4. Покажем, что e^x – 1 ~ x, при х0, т.е. .

Решение. Положим e^x – 1 = y или e^x = y + 1. Отсюда x = ln(y +1). Видно, что y0 при х0.

Следовательно, .

Поэтому e^x – 1 ~ x.

Принцип замены эквивалентных

Если функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми при ха, и если α(х) ~ γ(х), β(х) ~ η(х), то .

Пример 5. Вычислить предел, используя принцип замены эквивалентных:

.

Пример 6. Найти .

Решение. Заменим a^x – 1 ~ x · lna. Тогда .

Определение 3. Если отношение двух бесконечно малых величин само бесконечно мало ( ), то α(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем β(х), а β(х) – величиной более низкого порядка малости, чем α(х).

В этом случае записывают: , где символ «о» (символ Ландау) называется «о»-малое.

Из определения предела для следует, что в некоторой δ-окрестности точки а, или . Говорят, что α(х) имеет более низкий порядок роста, чем β(х). Тогда запишем последнее выражение в виде . Рассматривая функцию α(х) как бесконечно малую более высого порядка по сравнению с β(х) при х → а, можем пренебречь знаками обеих функций: изменение знака не приводит к изменению порядка функции. Поэтому модули можно снять, и тогда: .

Пример 7. , поэтому х = о(4) при х → 0.