Свойства символа «о»-малое

1. .

2. , где с = const ≠ 0.

3. Если , то .

4. .

5. Если , то . Последняя запись означает, что к функции β(х) прибавляется некоторая другая функция, о которой известно только то, что она является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х).

Если две различные функции α(х) и β(х) удалось представить в виде

,

,

то это не означает, что α(х) = β(х), так как под видом о(γ(х)) в этих двух случаях могут скрываться разные бесконечно малые функции.

С использованием символа «о» запись для эквивалентных можно представить в виде асимптотического равенства, например:

sin(x) = x + o(x) при х → 0,

(1 + х)^p – 1 = px + o(x) при х → 0.

Пример 6. Докажем последнее асимптотическое равенство, т.е. надо показать, что .

Решение. Положим (1 + х)^p – 1 = y. Очевидно, что y → 0 при х → 0.

Тогда (1 + х)^p = y + 1,

откуда

p·ln(1 + х) = ln(y + 1).

Поэтому

16