2. Операции над множествами.

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.

Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.

Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:

По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.

Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:

Множество А\В называется также дополнением множества В относительно множества А.

Определение 4: Если U – универсальное множество и АU, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:

Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое АВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А\В или В\А:

Пример:

Выписать все подмножества трёхэлементного множества М={а, b, c}.

М

{а, b, c}

{а, b} {а, c} {b, c}

{а } {b} { c}



Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.

Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.

В теории алгебры множеств множества  и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.

Основные свойства алгебры множеств:

Закон	Объединение 	Пересечение 	Разность \	Симметрическая разность 
Коммутативность (переместительный)	АВ=ВА	АВ=ВА		АВ=ВА
Ассоциативность (сочетательный)	(АВ)С=А(ВС)	(АВ)С=А(ВС)		(АВ)С=А(ВС)
Дистрибутивность (распределительный)	(АВ)С=(АС)(ВС)	(АВ)С=(АС)(ВС)		
Дистрибутивность (распределительный)	(А\В)С=(А\С)(В\С)	(А\В)С=(А\С)(В\С)		
Поглощения	(АВ)А=А	(АВ)А=А		
Склеивания (исключения)	(АВ)(ĀВ)=В	(АВ)(ĀВ)=В		
Идемпотентность (отсутствие показателей степени)	АА=А	АА=А	А\А=	АА=
Исключения третьего и противоречия	АĀ=U	АĀ=	А\Ā=А	АĀ=U
			Ā\А=Ā	
законы, связывающие пустое и универсальное множества	А=А	А=	А\=А	А=А
			\А=	
	АU=U	АU=А	А\U=	АU=Ā
			U\А=Ā	
	U=U	U=	U\=U	U=U
			\U=	
Законы де Моргана
		
Инвальтивность (двойное отрицание)				