- •Раздел 1. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 1. Числа. Функции.
- •Множества.
- •Операции над множествами.
- •Основные свойства алгебры множеств:
- •Сравнение вещественных чисел.
- •Непрерывность вещественных чисел.
- •Множество действительных чисел.
- •Действительные числа
- •Основные свойства вещественных чисел.
- •Сложение и умножение вещественных чисел
- •Виды числовых множеств. Окрестность точки.
- •Простейшие логические символы
- •Греческий алфавит
Виды числовых множеств. Окрестность точки.
Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения:
Конечные числовые промежутки |
||||
|
|
{x| axb}=[a; b] |
замкнутый промежуток (интервал) |
отрезок |
сегмент |
|
|
{x| a<xb}=(a; b] |
полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) |
полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок |
полусегмент |
|
|
{x| ax<b}=[a; b) |
полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) |
полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок |
полусегмент |
|
|
{x| a<x<b}=(a; b) |
открытый промежуток (интервал) |
|
|
Бесконечные числовые промежутки |
||||
|
|
{x| ax}=[a; +) |
полуинтервал |
закрытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| a<x}=(a; +) |
интервал |
открытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| xb}=(-; b] |
полуинтервал |
закрытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| x<b}=(-; b) |
интервал |
открытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| -<x<+}=(-; +) |
множество всех вещественных чисел |
числовая прямая |
прямая |
Все эти множества называются промежутками (интервалами).
Определение 1: Промежутки [a; b], (a; b], [a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.
Остальные промежутки называются бесконечными.
Открытый интервал (a; b) отличается от отрезка [a; b] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [а, b] такими числами являются соответственно b и а.
Пусть х0 — любое действительное число.
Определение 2: Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку х0. В частности, интервал (х0-; х0+), где >0 называется -окрестностью точки х0. Число х0 называется центром, а число — радиусом.
Если х(х0-; х0+), то выполняется неравенство х0-<х<х0+, или, что то же, |х-х0|<.
Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х0 в -окрестностью точки х0.
Проколотой окрестностью точки х0 называется такая окрестность точки х0, из которой удалена сама точка х0.
Простейшие логические символы
- знак логического следования |
|
означает «из предложения следует предложение » |
- знак равносильности (тогда и только тогда, когда) |
|
означает «предложение равносильно предложению », то есть «из следует и из следует » или « выполняется тогда и только тогда, когда выполняется » |
- квантор1 всеобщности (2) |
х |
означает «для любого х», или «для всякого х» |
- квантор существования (3) |
х |
означает «существует х», или «найдётся х» |
! – знак единственности |
х!у |
означает «для любого х существует и притом единственный у» |
: – «имеет место», «такое что» |
х!у: х+у=0 |
означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х+у=0» |
– «имеет место», «такое что» |
х!у х+у=0 |
означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х+у=0» |
() – знак принадлежности (не принадлежности) |
хХ (уY) |
означает «элемент х принадлежит множеству Х», или «элемент у не принадлежит множеству Y» |