1.2. Свойства спектров

Приведем без доказательства ряд хорошо известных и важных для дальнейшего свойств спектров [5... 7].

1. Амплитудно - частотная характеристика и реальная часть спектра произвольного вещественного сигнала являются четными функциями частоты, а его мнимая часть и фазочастотная характеристика - нечетными, т. е.

; ; (1.10)

; . (1.11)

2. Теорема 1.1 (масштабов). Пусть сигнал имеет спектрI . Тогда сигнал , где - произвольное вещественное число, имеет спектр .

Данную теорему иллюстрирует рис. 1.5, где а - прямо­угольные сигналы и , б - соответствующие им спектры и .

Следствие 1.1. Переход от вещественного сигнала к инвертированному во времени сигналу приводит к преобразованию спектра исходого сигнала в комп­лексно-сопряженный спектр .

Данное утверждение вытекает непосредственно из теоре­мы масштабов и приведенного выше свойства спектров 1, в силу которого – четная функция, а - нечетная. Действительно, спектр сигнала имеет вид

.

3. Теорема 1.2 (Релея - Парсеваля). Энергия сигнала равна деленной на энергии его спектра:

. (1.12)

Замечание 1.1. Из равенства (1.12) следует, чтр энер­гия сигнала не зависит от его фазочастотной характе­ристики, так как последняя «не участвует» в правой части (1.12).

4. Теорема 1. 3 (запаздывания). Пусть сигнал имеет спектр . Тогда сигнал (исходный сигнал , запоздавший на время ) обладает спектром .

Данную теорему иллюстрирует рис. 1.6, на котором по­казано прохождение сигнала через линию задержки на время .

^{5. Теорема 1.4 (В. А. Котельникова). Произвольный сигнал} , чей спектр вне полосы частот равен нулю (такие сигналы называют полосноограниченными), может быть восстановлен по своим дискретным значениям (отсчетам), взятым через интервал времени

(1.13)

(интервал Котельникова), или, как еще говорят, с удвоенной верхней частотой, так как периоду (1.13) соответствует частота дискретизации

, (1.14)

где - верхняя частота (в герцах) в спектре сигнала . Формула восстановления имеет вид

. (1.15)

Рис. 1.7

На рис. 1.7,а показан спектр полосноограниченного сигнала, а на рис. 1.7,б - его дискретные значения, взятые в соответствии с теоремой В. А. Котельникова.

Замечание 1.2. Можно показать, что сумма квадра­тов всех «котельниковских» отсчетов сигнала , , , , ..., связана с его энергией соотношением

. (1.16)

6. Теорема 1.5 (о свертке). Пусть имеем два сигнала и . Введем третий сигнал с помощью так называемой формулы свертки:

. (1.17)

Тогда спектры сигналов , и связаны соотношением

. (1.17а)

1.3. Передаточные функции и импульсные реакции линейных систем

Определение 1.3. Линейной системой (цепью) назы­вают «черный ящик» (устройство со входом и выходом, внут­ренняя структура которого может быть неизвестной, рис. 1.8), удовлетворяющий условиям:

1. если сигнал на входе «черного ящика» порождает сигнал на его выходе, то при подаче на вход сигнала , , на выходе получим ;

^{Рис. 1. 8}

2. ^{если входные сигналы «черного ящика» и порождают на выходе сигналы и , соответственно, то при подаче на вход сигнала на выходе получим .}

Если линейная система удовлет­воряет условию стационарности, т. е. ее свойства и параметры неизменны во времени, то сиг­налы на ее входе и выходе связаны упоминавшимся выше соотношением свертки (1.17):

,

где - импульсная реакция этой системы.

Определение 1.4. Импульсной реакцией называют отк­лик системы (рис. 1.9,б) на входное воздействие в виде -функции (рис. 1.9,а) — бесконечно короткого импульса бесконечно большой амплитуды, обладающего единичной площадью (см, рис, 1.10, на котором изображена последова­тельность прямоугольных импульсов возрастающей амплитуды и убывающей длительности , , , ..., переходящих в пределе при в - функцию).

Если импульсная реакция характеризует поведение ли­нейной системы во временной области, то для описания этой системы в частотной области используют передаточную функцию.

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Определение 1.5. Преобразование Фурье от импульс­ной реакции называют передаточной функцией

. (1.18)

В силу упомянутой выше теоремы о свертке, между вход­ным и выходным спектрами линейной стационарной системы (такую систему часто называют системой с инвариантными во времени параметрами) существует весьма простая связь (см. рис. 1.8):

. (1.19)

Замечание 1.3. Иногда передаточную функцию вводят с помощью равенства (1.19), определяя эту функцию как отношение спектра на выходе линейной стационарной систе­мы к спектру на входе этой системы:

. (1.20)

Введенная таким способом передаточная функция удовлет­воряет, как нетрудно проверить, равенству (1.18).

Замечание 1.4. Непосредственной проверкой можно установить, что четной импульсной реакции соответствует четная вещественная передаточная функция ; нечетной импульсной реакции соответствует нечетная мнимая передаточная функция .

По аналогии с амплитудно- и фазочастотными характе­ристиками (формулы (1.7а) и (1.76)), которыми обладает спектр произвольного сигнала, для передаточной функции линейной системы

(1.21)

вводят амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) ; широкое распространение получила тесно связанная с ФЧХ характеристика группового времени прохождения (ГВП)

. (1.22)

Так как неискажающая (идеальная) передаточная функция должна тождественно равняться единице (при этом, в силу (1.19), спектры, а значит, и сигналы, на входе и выходе линейной системы совпадают):

, , (1.23)

то для неискажающих АЧХ, ФЧХ и ГВП получаем соотношения

, (1.24а)

, (1.24б)

, (1.24в)

.

На практике, однако, усилением (ослаблением), а также запаздыванием сигнала (при сохранении его формы неизменной) во многих случаях можно пренебречь и систему с передаточной функцией , , , считать неискажающей цепью. Поэтому в качестве идеальных часто рассматривают характеристики рис. 1.11:

_{Рис. 1.11}

, (1.25а)

, (1.25б)

, (1.25в)

,

В случае, когда нарушается хотя бы одно из этих условий, выходной сигнал отличается по форме от входного. Так, искажение АЧХ типа «завала» высоких частот приводит к удлинению времени нарастания фронтов импульсов (фрон­ты становятся пологими). К увеличению длительности фрон­тов приводят также искажения ФЧХ или ГВП. Характерным признаком искажений ФЧХ или ГВП является появление асимметрии выходного сигнала при условии, что входной сигнал был четно симметричным. Остановимся на вопросе воздействия на проходящие сигналы искажении АЧХ и ФЧХ (так называемых линейных искажений) подробнее.