2.3. Кванторы

Предикатам могут быть приписаны кванторы. Естественный язык содержит огромное число кванторов.

Выражения: «каждому», «для всех» и т.п. служат примером КВАНТИФИКАЦИИ, которая состоит из квантора. Именно кванторы делают теорию предикатов гибкой и богатой.

Кванторы : общности  (читается как «для всех»);

существования  (читается как «существует»).

(X) P(X), XM. Если множество M состоит из конечного числа объектов M = {A₁, A₂, A₃,…A_N}, то значение истинности предиката с квантором общности (X) P(X) записывается в виде конъюнкции. P(A₁) & P(A₂) & P(A₃) &…& P(A_N).

(X) P(X), XM. Если множество M = {A₁, A₂, A₃,…A_N}, то значение истинности предиката с квантором существования (X) P(X) совпадает со значением дизъюнкции. P(A₁)  P(A₂)  P(A₃) … P(A_N).

Итак, квантор общности обобщает операцию конъюнкции, квантор существования обобщает операцию дизъюнкции.

Поскольку в формулы введены новые объекты-кванторы, необходимо установить связь их с другими объектами формул.

Первое, что мы сделаем, установим связь кванторов с одноместным оператором отрицания.

Нетрудно убедиться, что имеют место следующие тождества, носящие название законов де Моргана.

 (X) (P(X)) (X) ( P(X));

X P(X)  (X) ( P(X)).

Контрольные задания.

Определить связь между квантификацией переменных и связкам И и ИЛИ, то есть определить как связаны между собой следующие выражения.

1. X( P(X)vQ(X)) и ( X P(X)vX Q(X)).

2. X( P(X)&Q(X)) и ( X P(X)&X Q(X)).

3.  X( P(X)vQ(X)) и (X P(X)vX Q(X)).

4.  X( P(X)&Q(X)) и (X P(X)& X Q(X)).

2.4. Свободные и связанные переменные

Переменные в логике играют роль, аналогичную их роли в алгебре или анализе. Они позволяют указать в структуре объекта те места, которые при использовании этого объекта будут заняты другими объектами. Переменная в области действия квантора играет роль обычной переменной и называется связанной, поэтому говорят, что кванторы связывают переменные.

Пример. X ((X+1)(X-1)=(X²-1)). Здесь переменная X является связанной.

Вне действия квантора переменная называется свободной и играет роль неизвестного.

Пример. (X²+4X+4=0). Этот предикат определяет множество значений переменной X, при котором он истинен.

X P(X, y), здесь X – связанная переменная, y – свободная пере­менная.

Для лучшего понимания различия между связанной и свободной переменной рассмотрим следующий пример: в выражении переменная N является связанной, а переменная K – свободной; вместо N в этом выражении никакое значение не подставляется: не имеют смысла выражения , . Напротив, выражение – осмысленно. Таким образом, предикат . X_i P(X₁, X₂,… X_i,…X_N), не зависит от переменной X_i, при получении какого-либо значения предиката вместо X_i никакое значение не подставляется.

Область действия некоторой квантификации (или квантора) есть формула, к которой применяется эта квантификация. Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой.

Квантификация превращает N-местный предикат в (N –1)-местный.

Если R(X) – одноместный предикат на некотором множестве M, то (X) R(X) – нульместный предикат или УНИВЕРСАЛЬНОЕ высказывание, (X) R(X) – ЭКЗИСТЕНЦИОНАЛЬНОЕ высказывание.

Пример. Пусть A(X, y) – некоторый двухместный предикат, определённый на множестве из пяти элементов: M = {A₁, A₂, A₃, A₄, A₅}, Предикатная функция задана матрицей:

y X	A1	A2	A3	A4	A5
A1	T	T	T	T	T
A2	F	F	F	F	T
A3	T	F	T	T	T
A4	T	T	T	T	F
A5	T	T	T	T	F

В результате применения квантификации можно получить четыре одноместных предиката.

X	(y)  A(X, y)		y	(X)  A(X, y)		X	(y)  A(X, y)		y	(X)  A(X, y)
A1	T		A1	F		A1	T		A1	T
A2	F		A2	F		A2	T		A2	T
A3	F		A3	F		A3	T		A3	T
A4	F		A4	F		A4	T		A4	T
A5	F		A5	F		A5	T		A5	T

Если к оставшейся свободной переменной применить квантор, то одноместные предикаты превратятся в высказывания:

(X) (y) A(X, y)= T, (y) (X) A(X, y)= F,

 (X)  (y) A(X, y)= T,  (y)  (X) A(X, y)= T.

Порядок применения разноимённых кванторов существенен и может привести к различным высказываниям.

Примеры.

1. Пусть предикат D(X,y)= «X делит y», определенный на множестве натуральных чисел. Предикат  (X) (y) D(X, y) означает, что для всякого х существует такое y, что X делит y. И это утверждение истинно. Если кванторы поменять местами, то получится (y) (X) A(X, y) – и этот предикат означает, что существует такое число y, что любое х его делит. И это утверждение ложно.

2. Определим предикат MoTHer(X,y)= «у мать для X», определенный на множестве людей. Тогда  (X) (y) MoTHer(X, y) означает, что у каждого человека есть мать. Предикат с другим порядком кванторов (y)  (X) MoTHer(X, y) означает ложное утверждение, что существует мать всех людей.

Контрольные задания. Для построенных в п. 2.2. матриц предикатов, найти значения всевозможных предикатов с квантификациями.