1.8. Непротиворечивость аксиом

Множество аксиом H1, H2,  ,HM называется непротиворечивым, если найдётся такой набор истинностных значений входящих в него элементарных высказываний, на котором все аксиомы истины. Иначе множество аксиом противоречиво.

Приведенное в примере 1 множество аксиом непротиворечиво, так как на наборе значений, где A=T, B=F, C=T и D=T, каждая аксиома принимает значение "истина".

Противоречием называется высказывание, которое ложно во всякой предметной области. Противоречие будем обозначать как A&A (это высказывание является и простейшим примером противоречия) или как 0. Для более сложных высказываний проверку на то, является ли высказывание противоречием, проверяется так же, как высказывания на общезначимость, через построение таблицы. Значение функции в этом случае должно быть равным F.

Если множество аксиом противоречиво, то высказывание A1&A2&&AM будет противоречием.

Каждый раз, когда в экспертной системе строится описание предметной области, его проверяют на непротиворечивость. Непротиворечивость достигается через уточнение высказываний.

Кроме проверки множества аксиом на непротиворечивость, возникает задача проверки это множество на достоверность.

Пусть, например, в качестве аксиом выступают свидетельство людей, причастных к преступлению, и необходимо выявить, кто является преступником. Возникает вопрос, насколько можно доверять этим свидетельствам? Здесь можно использовать такой приём. Будем считать, что свидетельства людей, не совершивших преступление, истинны, а свидетельства преступников – ложны. Тогда каждое свидетельство породит две аксиомы, имеющие вид импликаций: ЕСЛИ A невиновен ТО его свидетельство верно, и ЕСЛИ A преступник ТО его свидетельство – ложно.

1.9. Аксиоматизация логики высказываний

Любая математическая система основывается на множестве аксиом, т.е. выражений, считающихся общезначимыми и множестве правил вывода, т.е. механизмов, позволяющих строить новые общезначимые выражения. Такие выражения называют теоремами. Доказательством теорем называется последовательность из аксиом, правил вывода и уже доказанных теорем, позволяющих получить новую теорему. Важно, что логические правила, которые используются для вывода новых теорем из аксиом и ранее доказанных в данной системе теорем, не порождали в качестве «теорем» ложные высказывания.

Рассмотрим предметную область, включающую все возможные высказывания. Определим множество аксиом, определяющих эту область. Такими вопросами занимается область матлогики, называемая исчислением высказываний.

Необходимо предложить такие формализмы, которые бы определяли все процедуры и не требовали дополнительно никаких ссылок на смысловое содержание. В вышеприведённых примерах мы решали задачу вывода исходя из того, что известны понятия И, ИЛИ, ЕСЛИ ТО и др., которые использовались при выводе. Так, если аксиома определена как A&B, то, исходя из смысла этой операции, выводилась истинность высказываний A и B. В исчислении высказываний операция И определяется явно в виде двух аксиом: (A&B)A, (A&B)B. Это позволяет организовать вывод, не прибегая к рассмотрению смысла фраз.

Силлогизмы – правильные схемы рассуждений, в которых заключение верно в силу именно формы рассуждения, а не содержания.

Правильным умозаключением называется такое умозаключение, значение которого истинно всякий раз, когда истинны его гипотезы. Правила вывода являются правильными умозаключениями или силлогизмами. Силлогизм записывается в виде

H ₁, H₂,…, H_N гипотезы

C заключение

Гипотезы представляют собой перечень высказываний или посылок. Умозаключение правильно, если всякий раз, когда H₁, H₂,… H_N истинны, то истинно и С. Правильность умозаключения можно проверить, построив таблицу истинности и показать, что всякий раз, когда гипотезы истинны, истинно и заключение.

Таблица 1.3

Силлогизм	Название силлогизма
PQ, P Q	MoDuS PoNeNS (способ спуска или правило отделения)
PQ, Q  P	MoDuS TolleNS (доказательство от противного)
PQ, QR P R	Транзитивность импликации
P v Q, P Q	Дизъюнктивный силлогизм
Продолжение таблицы 1.3
P v Q,P(R&R) Q	Исключающий выбор
PQ, RQ, P v R Q	Простая конструктивная дилемма
PQ, RS, P v R QvS	Сложная конструктивная дилемма
PQ, PS, Q vS P	Простая деструктивная дилемма
PQ, RS, Q vS P vR	Сложная деструктивная дилемма
P(R&R) P	Сведение к абсурду

Рассмотрим пример использования правила вывода MoDuS PoNeNS . Пусть P и Q заданы следующим образом: P– «A является студентом УГТУ-УПИ», Q– «A посещает занятия»,

так что PQ: если A студент УГТУ-УПИ, то А посещает занятия.

Предположим, A – Петров Василий, и он посещает занятия. Нужно показать, что он – студент УГТУ-УПИ.

Правило MoDuS PoNeNS даёт

P®Q, P Q

Если A студент УГТУ-УПИ, то А посещает занятия , A посещает занятия, значит A – студент УГТУ-УПИ.

Рассуждения, построенные по схеме силлогизмов, правильны именно в силу своей структуры. Рассмотрим пример формального доказательства правильности умозаключения

PQ, R Q, R

P

Доказательство:

1. PQ – гипотеза;

2. R Q – гипотеза;

3. R – гипотеза;

4. Q – 2, 3, правило MoDuS PoNeNS;

5. Q P – 1 и Закон контрапозиции: PQ º Q P;

6. P – 4, 5 и правило MoDuS PoNeNS.

Контрольные задания.

Определите, какое из перечисленных умозаключений является правильным:

а) P v Q, P v S, S

P

B) P v Q, R v Q,P

R v P

C) PQ, PS, Q v S

P

D) (S & T), ZT

S Z

e) PQ, RQ, R

 P

F) P v Q, R v Q,P, S

R v S

g) S v T, TR, S Z,

R v Z