3.7. Крайовий ефект

Як правило, вибірки, що надходять для цифрової обробки, є вирізаними фрагментами більш тривалих сигналів. Це може призвести до помилки при визначенні та , яка пов’язана з крайовим ефектом.

Крайовий ефект покажемо на конкретному прикладі.

Приклад. Знайти взаємну кореляцію двох узгоджених в часі вибірок:

x(n) = {2, 1, 0, –2, 1, 3, 2, –1}, y(n) = {1, 3, 1, –1, –3, –2, 0, 1},

при зміщенні .

Розв’язування. Вибірки та при зміщенні зведемо в таблицю.

n				0	1	2	3	4	5	6	7
x(n)				2	1	0	-2	1	3	2	-1
y(n)	1	2	1	-1	-3	-2	0	1

Об’єм вибірок однаковий: N = 8. Після зміщення m = 3 сигналу y(n) відносно в сторону випередження співпадають лише п’ять відліків цих вибірок.

.

Даний приклад показує, що при зміщенні m = 3 число пар, що утворюють добуток, зменшилося з восьми до п’яти. Це спотворює результат. Значення взаємної кореляції спотворюється особливо помітно, якщо вибірки дуже короткі.

Крайовий ефект усувається, а точніше зменшується, шляхом корегування крайніх значень за рахунок спеціалізованого апріорного розширення вибірок.

3.8. Приклади

Приклад 3.1. Знайти автокореляційні функції , та коефіцієнти автокореляції , , прямокутного імпульсу тривалості та трикутного імпульсу тривалості (рис. 3.4).

Розв’язування. Аналітична форма прямокутного імпульсу, що зображений на рис. 3.4, а, має вигляд:

Зміщення  вважаємо алгебраїчною величиною, тому в межах зміщена копія сигналу має однакову форму . Але по-різному визначатимуться межі інтервалу накладання оригіналу та його зміщеної копії. Тому АКФ прямокутного імпульсу визначаємо в два етапи:

При згідно формули (3.8):

.

При цьому , .

При , :

.

При цьому , .

Коефіцієнт автокореляції визначається формулою:

, при , при .

x(t)

y(t)

 = 0

 = 0

А

В

x(t) = A

0

t

T_x

0

t

T_y

x(t – )

y(t – )

 > 0

 > 0

А

В

x(t– ) = A

0

t

T_x

T_x+

 

0

T_y

T_y+



x(t – )

y(t – )

А

 < 0

 < 0

В

x(t– ) = A

0

t

T_x+

 

0

t

T_y+



B_yy()

B²T_y/3

–T_y

T_y

0



_yy()

1

5/16

5/16

–T_y

T_y

0



–T_y/2

T_y/2

Рис. 3.4. 

Аналітична форма трикутного імпульсу, що зображений на рис. 3.4, в, має вигляд:

АКФ трикутного імпульсу теж визначаємо в два етапи.

При :

.

, , .

При , :

.

, , .

На рис. 3.4, а зображений прямокутний імпульс , копії імпульсу при зміщенні  > 0 та  < 0, автокореляційна функція та коефіцієнт кореляції . На рис. 3.4, b зображені аналогічні графіки трикутного імпульсу .

Зауважимо, що автокореляційна функція – парна функція, не обов’язково додатна, але її максимальне значення . Із збільшенням модуля зміщення модуль автокореляційної функції спадає до нуля, але не обов’язково монотонно.

Приклад 3.2. Визначити взаємну кореляційну функцію прямокутного імпульсу (рис. 3.4, а) та трикутного імпульсу (рис. 3.4, b) однакової тривалості .

Розв’язування. Так як функція простіша, будемо саме її зміщувати на  відносно . Відповідно визначатимемо взаємну кореляційну функцію . Зміщення  вважаємо алгебраїчною величиною (рис. 3.5).

Здійснивши аналогічні розрахунки при зміщенні відносно , одержимо відносну кореляційну функцію . Обидві ВКФ взаємо-обернені:

.

Приклад 3.3. Визначити взаємну кореляцію двох сигналів та , що зображені на рис. 3.6.

Розв’язування. Задані Кусково-неперервні періодичні сигнали, запишемо аналітично, розбивши їх в межах періоду T на куски:

, ,

Так як треба знайти взаємну кореляцію , то це означає, що сигнал треба зсунути на  не вліво, а вправо, тобто в сторону запізнення.

При зсуві в межах розглядаємо три часові відрізки, що визначаються точками

, , .

.

При зсуві в межах (рис. 3.8) три часові відрізки визначаються точками , , .

.

Підставивши в обох випадках одержимо . Отже, перевірка виявилась позитивною. Таким чином (рис. 3.9):

Приклад 3.4. Визначити автокореляційну функцію гармонічного сигналу з частотою :

.

Розв’язування. Так як S(t) – періодична функція, то

.

При інтегруванні були використані наступні формули:

, (3.28)

,

при змінній t,

.

Як видно із розв’язку, АКФ гармонічного сигналу є гармонічним сигналом. До того ж – парна функція. Приклад підтверджує також той факт, що АКФ не залежить від початкової фази гармонічного сигналу.

Приклад 3.5. Визначити автокореляційну функцію гармонічного сигналу з частотою :

.

Розв’язування. Так як S(t) – періодична функція, період якої

,

то

.

При інтегруванні були використані наступні формули:

,

при змінній t,

.

АКФ гармонічного сигналу є гармонічна функція, не зважаючи, що в цьому прикладі розглядалась вже синусоїда. – парна функція, яка не залежить від початкової фази .

Приклад 3.6. Знайти кореляційну функцію та коефіцієнт кореляції двох дискретних сигналів: та .

Розв’язування. Скористаємося формулою

Так як N = 3, то вона набуває вигляду

Результати розрахунків і їх графічне зображення зведені в таблиці.

Коефіцієнт кореляції обчислюємо за формулою

_де

,

Отже, .

Розрахунки значень зведені в таблицю, тоді значення коефіцієнта взаємної кореляції такі:

; ; ; ; .

Графічне зображення цих значень наведені в таблиці.

m	y(n + m), rxy(m), N = 3	Розрахункові формули rxy(m)
-2		.
-1		.
0	x(n)	.
0	y(n)	.
1		.
2	y(n + 2)	.
m	rxy(m) 2 1 0 1 2 3 n 4/3 1/3 8/3 8/3 3/3

m	y(n + m), rxy(m), N = 3	Розрахункові формули rxy(m)
m	xy(m) 2 1 0 1 2 3 n 0,436 0,109 0,873 0,327 0,873 0

Приклад 3.7. В таблиці наведені середньомісячні температури в двох містах планети: в місті F та в місті G. Виміри проводились протягом непарних місяців (січні, березні, травні, тощо). Складіть таблицю значень функції взаємної кореляції температур атмосфери в обох містах та визначте в яких півкулях, північній чи південній, знаходяться міста F та G, і як далеко від екватора? Функцію взаємної кореляції визначити наступним чином:

де та − середньоарифметичні річні значення f та g.

n	0	1	2	3	4	5
місяці	1	3	5	7	9	11
f(n) (місто F)	4	10	20	25	20	5
g(n) (місто G)	20	18	15	10	17	22

Розв’язування. Обидві вибірки та мають однаковий об’єм N = 6, циклічно (щорічно) повторюються. Тому, − циклічна взаємна кореляція. Визначимо середньоарифметичні значення та :

Розрахункову формулу реалізуємо в табличному варіанті та побудуємо графік (рис. 3.10).

n	0	1	2	3	4	5
місяці	1	3	5	7	9	11
f(n) (місто F)	4	10	20	25	20	5	=14
g(n) (місто G)	20	18	15	10	17	22	=17
	10	4	6	11	6	9	m
	3	1	2	7	0	5
	30	4	12	77	0	45	0	28,0
	10	8	42	0	30	27	1	6,8
	20	28	0	55	18	9	2	18,7
	70	0	30	33	6	18	3	26,2
	0	20	18	11	12	63	4	10,0
	50	12	6	22	42	0	5	20,0

m

місяць

9

5

7

1

3

11

Рис. 3.10.

Проведемо аналіз функції взаємної кореляції:

1. В обох містах середньо річна температура та не буває від’ємною, тому обидва міста розташовані недалеко від екватора.

2. Максимальне значення в липні місяці. Це означає, що зсув по фазі складає 6 місяців, а тому міста розташовані в різних півкулях..

3. Так як в січні середньомісячна температура в місті F найнижча і становить 4ºС, то місто F розташоване в північній півкулі, а місто G − в південній півкулі.