3.10. Приклади розв’язування індивідуальних задач

Задача 3.1. Знайти автокореляційні функції , та відповідні коефіцієнти автокореляції , , а також знайти функцію взаємної кореляції та коефіцієнт взаємної кореляції аналогових сигналів та .

Розв’язування. Аналогові сигнали та неперервні функції, значення яких на дев’яти послідовних інтервалах задані в таблиці 3.1.

Запишемо математичні моделі цих сигналів:

Дамо графічне зображення заданих сигналів (рис. 3.11).

y(t)

6Т

7Т

0

t

−1

1

Т

Рис. 3.11. 

Попередньо сформулюємо наступне:

• При зміщеннях  = ± Т, ± 3Т, ± 5Т, ± 7Т та будь-яких зміщеннях  < −7Т та  > 7Т відповідні кореляційні функції дорівнюють нулю, бо один із сигналів при будь-якому t дорівнює нулю.

• При всіх інших значеннях , що не вказані в пункті 1, має місце попарне накладання одиничних прямокутних імпульсів, тобто окремих кусків функцій, що розглядаються.

• При накладаються чотири пари прямокутних імпульсів, при − три пари, при − дві пари, при − одна пара прямокутних імпульсів.

• При накладанні кожної пари імпульсів будемо розрізняти два випадки: або знаки імпульсів співпадають, або знаки імпульсів не співпадають.

Розглянемо імпульси, знаки яких співпадають. Тобто, або обидва імпульси додатні, або обидва − від’ємні. Тоді, згідно прикладу 3.1, кореляційна функція цих двох одиничних імпульсів S буде додатною (рис. 3.12). Для 0 ≤  ≤ Т функція , а для −Т ≤  ≤ 0 функція . Після ділення на одержимо коефіцієнт кореляції , що має додатні значення (рис. 3.12).

Рис. 3.12. 

є добутком та , тобто добутком рядка при з відповідним рядком при  = 0, ±2Т, ±4Т, ±6Т.

	Значення x(t) та x(t – ) на відрізках
	0 ≤  < Т	2Т ≤  < 3Т	4Т ≤  < 5Т	6Т ≤  < 7Т
−6Т	−1				Т
−4Т	−1	−1			2Т
−2Т	−1	−1	−1		3Т
0	−1	−1	−1	−1	4Т
2Т		−1	−1	−1	3Т
4Т			−1	−1	2Т
6Т				−1	Т

Всі чотири одиничні куски функції x(t) одного знаку. Вони від’ємні. Тому всі пари цих кусків при накладанні мають додатні функції та (рис. 3.12). Так як , де  − алгебраїчна величина, а інтеграл суми функцій (кусків) дорівнює сумі інтегралів, то при −Т ≤  ≤ Т автокореляційну функцію складають чотири пари одиничних імпульсів. При додатних  (0 ≤  ≤ Т) автокореляційна функція , а при від’ємних  (−Т ≤  < 0) функція .

При подальшій зміні  на кожні 2π в сторону збільшення чи зменшення число пар кусків, що накладаються, зменшується на одиницю поки не стане нулем. Графік автокореляційної функції зображений на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Графік автокореляційної функції

Автокореляційний коефіцієнт

.

Масштабні коефіцієнти втрачають своє значення. Функція − безрозмірна. При автокореляційна функція і досягає свого максимального значення. Графік можна використовувати як графік при умові, що , , , .

2. Тепер аналогічним чином знайдемо автокореляційну функцію та коефіцієнт кореляції .

Будуємо таблицю значень y(t) та його зсунутих копій, та визначимо при  = 0, ± 2Т, ± 4Т, ± 6Т.

	Значення y(t) та на відрізках
	0 ≤  < Т	2Т ≤  < 3Т	4Т ≤  < 5Т	6Т ≤  < 7Т
−6Т	−1				Т
−4Т	1	−1			−2Т
−2Т	1	1	−1		−Т
0	−1	1	1	−1	4Т
2Т		−1	1	1	−Т
4Т			−1	1	−2Т
6Т				−1	Т

При  = 0 всі чотири пари кусків, що накладаються, одного знаку, бо функція y(t) накладається сама на себе. Тому, . При зміщенні дві пари одиничних кусків протилежного знаку, а одна пара – однакового знаку. Тому, . При зміщенні обидві пари одиничних кусків протилежного знаку, тому . При накладається одна пара кусків, значення яких однакового знаку. Тому, .

Будуємо графік (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Графік автокореляційної функції

Поділивши автокореляційну функцію на , одержимо функцію коефіцієнта кореляції . Якщо в якості використати графік , то треба врахувати, що , , , .

Отже, функції та парні функції, максимальні значення яких при  = 0 додатні: , . На окремих відрізках ці функції мають від’ємні значення.

3. Визначимо функцію взаємної кореляції та коефіцієнт . Для цього будуємо таблицю значень x(t) та при певних зміщеннях τ.

	Значення x(t) та на відрізках
	0 ≤  < Т	2Т ≤  < 3Т	4Т ≤  < 5Т	6Т ≤  < 7Т
0	−1	−1	−1	−1
−6Т	−1				Т
−4Т	1	−1			0
−2Т	1	1	−1		−Т
0	−1	1	1	−1	0
2Т		−1	1	1	−Т
4Т			−1	1	0
6Т				−1	Т

При зміщеннях  = ± Т, ± 3Т, ± 5Т, ± 7Т функція .

Будуємо графік , що зображений на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Графік функції взаємної кореляції

Як правило, функція не є парною чи непарною функцією. В даному випадку із-за парності функцій x(t) та y(t) функція теж парна. Зберігається основна властивість оберненості в часі функцій взаємної кореляції: .

Так як коефіцієнт взаємної кореляції

,

то, поділивши функцію на , одержимо функцію . Якщо для функції використовувати графік 3.16, то треба враховувати, що , .

Максимальна кореляція в прямому розумінні має місце в двох точках: . Максимальна кореляція в протилежному розумінні має місце теж в двох точках: . При функції x(t) та не корелюють, тобто сигнали x(t) та y(t − τ) при цих значеннях ортогональні за напрямком.

Задача 3.2. Визначити коефіцієнти автокореляції та послідовностей та .

Обидві послідовності однакового об’єму , тому ( ).

m				∑
5 4 3 2 1	1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1	2 4 2 4 4 2 3 4 4 2 2 3 4 4 2		2 8 18 31 44	0,333 1,333 3,000 5,167 7,333	0,04 0,16 0,36 0,62 0,88
0		1 2 3 4 4 2		50	8,333	1,000
−1 −2 −3 −4 −5		1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1	2 4 2 4 4 2 3 4 4 2 2 3 4 4 2	44 31 18 8 2	7,333 5,167 3,000 1,333 0,333	0,88 0,62 0,36 0,16 0,04

Розв’язування. Дискретну кореляцію визначили згідно формули

, m = 0, ±1, … , ±(N − 1). (3.29)

Обчислення підтвердили, що парна функція:

, (3.30)

до того ж додатна, . Також видно, що .

Значення є максимальним: .

Коефіцієнт автокореляції визначається формулою:

, m = 0, ±1, … , ±(N − 1). (3.31)

Аналогічним чином знаходимо , але розрахункову таблицю дещо спрощуємо. , .

m		∑
5 4 3 2 1	5 3 5 2 3 5 1 2 3 5 2 1 2 3 5	15 19 17 20 31	2,500 3,167 2,833 3,333 5,167	0,288 0,365 0,327 0,385 0,596
0	3 2 1 2 3 5	52	8,666	1,000
−1 −2 −3 −4 −5	3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 1 3 2 3	31 20 17 19 15	5,167 3,333 2,833 3,167 2,500	0,596 0,385 0,327 0,365 0,288

Визначити коефіцієнт взаємної кореляції .

m		∑
	=1 2 3 4 4 2
5 4 3 2 1	5 3 5 2 3 5 1 2 3 5 2 1 2 3 5	5 13 23 34 42	0,833 2,167 3,833 5,667 7,000	0,098 0,255 0,451 0,667 0,824
0	3 2 1 2 3 5	40	6,667	0,785
−1 −2 −3 −4 −5	3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 1 3 2 3	30 25 22 16 6	5,000 4,167 3,667 2,667 1,000	0,588 0,490 0,432 0,314 0,118

Була використана формула

, m = 0, ±1, … , ±(N − 1). (3.32)

При цьому .

Максимальне є значення . Отже, при зміщенні відносно на m = 1 маємо максимальну кореляцію.

Визначимо коефіцієнт циклічної взаємної кореляції та , коли послідовності періодично (циклічно) повторюються через N = 6 елементів.

m		1 2 3 4 4 2	∑
0 1 2 3 4 5	y(n + 0) y(n + 1) y(n + 2) y(n + 3) y(n + 4) y(n + 5)	3 2 1 2 3 5 5 3 2 1 2 3 3 5 3 2 1 2 2 3 5 3 2 1 1 2 3 5 3 2 2 1 2 3 5 3	40 35 38 45 50 48	6,667 5,833 6,333 7,500 8,333 8,000	0,785 0,686 0,745 0,883 0,981 0,941
	y(n)	3 2 1 2 3 5	40	6,667	0,785

Була використана формула (3.32).

Максимальне значення .

Максимальне значення .

Визначимо коефіцієнт циклічної взаємодії кореляції послідовностей x(n) та h(n). Так як об’єми цих послідовностей неоднакові, то обидві послідовності доповнимо нулями до об’єму ,

m		1 2 3 4 4 2 0 0 0	∑
0 1 2 3 4 5 6 7 8	h(n)	4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 4 5 3 1 1 0 0 0 0 0 4 5 3 3 1 0 0 0 0 0 4 5 5 3 1 0 0 0 0 0 4	27 39 46 42 26 8 1 5 14	0,535 0,772 0,911 0,832 0,515 0,158 0,020 0,099 0,277

Була використана формула:

.