Правило Сарюсса

Детермінант 3-го порядку дорівнює алгебраїчній сумі шести добутків. Знаки добутків за цим правилом визначаються таким чином. До матриці справа дописують першу та другу колонки. Із знаком «плюс» входять: добуток елементів головної діагоналі та добутки елементів, які розташовані на відрізках, що паралельні головній діагоналі:

Із знаком «мінус» входять: добуток елементів побічній діагоналі та добутки елементів, які розташовані на відрізках, що паралельні побічній діагоналі.

Таким чином,

Приклад.

Можна побачити, що кожний із доданків, які утворюють детермінанти другого та третього порядків, містить по одному елементу з різних рядків та колонок. Такий самий характер мають доданки детермінантів будь-якого порядку. Власне, за межі нашого курсу виходить лише спосіб, за яким установлюються знаки доданків.

Методи обчислення детермінантів вищих порядків (починаючи з четвертого) будуть розглянуті далі.

Властивості детермінантів

1. Детермінант матриці не змінюються при транспонуванні (Без доведення).

2. Якщо у матриці поміняти місцями два рядки або дві колонки, то детермінант змінить знак на протилежний (без доведення).

3. Якщо рядок чи колонку матриці помножити на число, то її детермінант також помножиться на це число.

Доведення. Розглянемо деяку матрицю. Помножимо якийсь рядок на число . Отримаємо нову матрицю. Її детермінант дорівнює сумі деякого числа доданків, кожний із яких містить по одному співмножнику з цього рядка. Тоді в сумі можна винести за дужки , а вираз, що залишиться у дужках, дорівнює детермінанту початкової матриці.

Аналогічно доводиться випадок множення колонки на число.

Наслідок. Спільний множник рядка або колонки можна виносити за знак детермінанта.

4. Якщо в матриці є рядок або колонка, що складається з нулів, то детермінант цієї матриці дорівнює нулю.

Доведення. Нехай деякий рядок складається з нулів. Оскільки кожний із доданків у підрахунку детермінантів містить по одному елементу з цього рядка, то всі вони дорівнюють нулю, отже, детермінант дорівнює нулю.

5. Якщо в матриці є два рівних рядки або дві колонки, то її детермінант дорівнює нулю.

Доведення. Якщо поміняти місцями дві рівні колонки або два рядки, то за другою властивістю знак детермінанта змінюється на протилежний. Але помінявши місцями однакові рядки, ми отримуємо ту ж саму матрицю. Якщо ж , то .

6. Якщо в матриці є два рядки або дві колонки, елементи яких пропорційні, то детермінант цієї матриці дорівнює нулю.

Доведення. Нехай елементи одного рядка пропорційні відповідним елементам другого, тобто існує число таке, що всі елементи першого рядка дорівнюють елементам другого, помноженим на це число (коефіцієнт пропорційності). За наслідком з третьої властивості коефіцієнт можна винести за знак детермінанта, і ми отримаємо детермінант матриці, у якій два рівних рядки. За п’ятою властивістю він дорівнює нулю.

7. Якщо кожний елемент -ої колонки матриці подати у вигляді суми двох доданків, то детермінант такої матриці можна обчислити як суму детермінантів двох матриць: -та колонка першої матриці утворена першими доданками, а -та колонка другої матриці – другими доданками -ої колонки початкової матриці. Усі інші елементи цих матриць за дислокацією та значенням співпадають з елементами початкової матриці (без доведення).

Така ж властивість має місце стосовно будь-якого рядка матриць.

Означення 1.16. Множина елементів, на яких визначені операції додавання та множення на число, називається лінійним простором.

Означення 1.17. Лінійною комбінацією елементів , які належать деякому лінійному простору, називається елемент цього ж простору , який дорівнює сумі добутків даних елементів на числа :

(1.3.)

Числа називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

Розглянемо приклад.

У шкільному курсі вивчаються дво- і тривимірні вектори. Далі ми визначимо вектори будь-якої вимірності, і тоді означення вектора як відрізка, що має напрям, виявиться лише геометричною інтерпретацією вектора.

На множині векторів були визначені операції додавання та множення на скаляр. Отже, вектори утворюють лінійний простір, і тому можна дати геометричну ілюстрацію лінійній комбінації векторів.

Нехай . Складемо лінійну комбінацію з коефіцієнтами . Отримаємо вектор :

Рядок матриці можна вважати матрицею-рядком, а колонку – матрицею-колонкою. Оскільки на цих елементах визначені операції додавання та множення на скаляр, то вони утворюють лінійні простори. Отже, можна розглядати лінійну комбінацію рядків та колонок матриці.

8. Детермінант матриці не зміниться, якщо до будь-якого рядка чи колонки додати довільну лінійну комбінацію рядків або колонок, відповідно.

Доведення. Розглянемо детермінант: . Помножимо -ту колонку на число , отримаємо і додамо її до першої колонки матриці. За сьомою властивістю детермінант такої матриці можна розкласти на суму детермінантів двох матриць:

Перша матриця дорівнює початковій, і її детермінант дорівнює , а у другій матриці перша колонка пропорційна - тій. Отже, її детермінант дорівнює нулю.

9. Детермінант матриці, у якої хоча б один рядок або колонка є лінійною комбінацією рядків або колонок, відповідно, дорівнює нулю (довести самостійно).

10. Детермінант верхньо- та нижньотрикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі (довести самостійно).

11. Детермінант добутку двох квадратних матриць, якщо він існує, дорівнює добутку їх детермінантів: (без доведення).

Наведені властивості дозволяють обчислювати детермінанти шляхом перетворень.

Приклад. Обчислити детермінант четвертого порядку:

Помножимо перший рядок на (-3) і додамо до другого, потім помножимо перший рядок на (-2) і додамо до четвертого: . Змінимо місцями другий і третій рядки. При цьому знак детермінанта зміниться на протилежний:

Помножимо другий рядок на (-5) і додамо до третього, потім помножимо другий рядок на (-4) і додамо до четвертого:

Помножимо третій рядок на і додамо до четвертого:

Ми отримали верхньотрикутну матрицю, детермінант якої дорівнює добутку елементів головної діагоналі: