Питання та завдання для самоперевірки

1. Яка матриця називається виродженою?

2. Сформулюйте і доведіть достатню умову існування оберненої матриці.

3. Знайдіть матриці, обернені до матриць:

.

4. Знайдіть матрицю, обернену до матриці .

5. Доведіть, що і в загальному вигляді, якщо , то буде верхньотрикутною.

6. Знайдіть матрицю, обернену до матриці .

7. Доведіть, що і в загальному вигляді, якщо , то буде діагональною.

6. Системи лінійних рівнянь

Із шкільного курсу нам відомо, що аналітичним виразом називається запис, у якому використовуються числа, букви, що позначають числа (параметри), букви, які позначають змінні або невідомі величини і знаки арифметичних, алгебраїчних, тригонометричних та інших дій.

Областю допустимих значень (ОДЗ) аналітичного виразу називається множина значень параметрів і змінних, при яких можна виконати всі описані у виразі дії.

Рівністю називається два аналітичних вирази, поєднаних знаком “=”. ОДЗ рівності – перетин ОДЗ його лівої та правої частини. Рівність буває числова та зі змінними. Числові рівності бувають істинними (2=2), або хибними (2=3).

Рівності зі змінними бувають або тотожностями, або рівняннями. Тотожності перетворюються в істинні числові рівності при всіх значеннях параметрів та змінних з ОДЗ. Рівняння перетворюються в істинні числові рівності при окремих значеннях змінних, які називаються коренями рівняння.

Означення 1.23. Коренем рівняння з змінними називається набір чисел – значень змінних з ОДЗ, які перетворюють рівняння в істинне числове. Іноді кажуть, що корінь рівняння – це чисел, які задовольняють рівнянню.

Розв’язати рівняння – означає дослідити, чи має воно корені. Якщо має, то треба знайти множину коренів.

Системою рівнянь називається два або більше рівняння, що розв’язуються сумісно. Це означає, що ми шукаємо корені системи, тобто значення змінних, які є коренями кожного з рівнянь системи. Корені системи є перетином множин коренів кожного з рівнянь системи. З цього витікає, зокрема, що коли одне з рівнянь системи не має коренів, то і система не має коренів.

Означення 1.24. Система, що має корені, називається сумісною. У протилежному випадку – несумісною.

Означення 1.25. Лінійним відносно змінних називається вираз, до якого змінні входять у першому ступені.

Означення 1.26. Лінійним називається рівняння, у якого ліва та права частини – лінійні вирази.

Означення 1.27. Системою лінійних рівнянь називається система такого виду:

(1.10)

Ця система містить рівнянь та змінних. Числа - коефіцієнти системи; числа – вільні члени. Коефіцієнти системи утворюють матрицю, яка називається матрицею системи: . Вільні члени утворюють матрицю–колонку: .

Якщо ввести в матрицю-колонку змінних , тоді систему можна записати в матричній формі:

. (1.11)

Система лінійних рівнянь може бути сумісною або не сумісною. Доведено, що в першому випадку система може мати єдиний корінь або нескінчену множину коренів (розв’язків).

Означення 1.28. Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени, тобто праві частини рівнянь дорівнюють нулю.

(1.12)

Ця система завжди сумісна, оскільки існує так званий тривіальний розв’язок: .

За співвідношенням кількості рівнянь та змінних розглядають квадратні та неквадратні системи лінійних рівнянь.

Означення 1.29. Система лінійних рівнянь називається квадратною, якщо кількість змінних дорівнює кількості рівнянь ( ).

Якщо система квадратна, то і матриця системи є квадратною. Значить, існує її детермінант.

Означення 1.30. Детермінант матриці квадратної системи рівнянь називається головним детермінантом, і позначається він так: .

Означення 1.31. Допоміжним детермінантом, , називають детермінант матриці, яка утворена з матриці системи заміною -ої колонки колонкою вільних членів.

Приклад. Розглянемо систему:

Матриця системи , колонка вільних членів .

Обчислимо головний детермінант:

та допоміжні детермінанти: , ,

Теорема 1.4. Правило Крамера

Якщо головний детермінант системи не дорівнює нулю, то система сумісна і має єдиний корінь (розв’язок), який можна знайти за формулою:

.

Якщо ж головний детермінант системи дорівнює нулю, можливі два випадки:

a) усі допоміжні детермінанти дорівнюють нулю ( ), тоді система сумісна і має нескінченну множину коренів (розв’язків);

б) хоча б один із допоміжних детермінантів не дорівнює нулю ( ), тоді система є несумісною.

Доведення. Розглянемо квадратну систему лінійних рівнянь:

.

Оскільки система квадратна, то матриця системи квадратна і до неї існує союзна, . Помножимо наше рівняння на союзну матрицю зліва:

.

Добуток матриці на союзну до неї ми вже розглядали, він дорівнює діагональній матриці, усі елементи на головній діагоналі якої дорівнюють :

.

Цей добуток можна перетворити так:

.

Таким чином, ліва частина рівняння набуває вигляду:

.

Розглянемо праву частину рівняння: .

Вона являє собою матрицю-колонку. Випишемо її -тий елемент, :

.

Це сума добутків алгебраїчних доповнень до елементів -тої колонки матриці системи на елементи колонки матриці , і вона дорівнює детермінанту матриці, яка утворена з матриці системи заміною -тої колонки колонкою вільних членів, тобто допоміжному детермінанту . Отже, права частина рівняння являє собою матрицю-колонку, елементами якої є допоміжні детермінанти.

Таким чином, ми отримали матричне рівняння:

.

За означенням рівності матриць це рівняння еквівалентне системі:

Якщо , то, поділивши всі рівняння на , ми отримаємо єдине значення кожної змінної, отже, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулою:

. (1.13)

Якщо ж , то можливі два випадки:

1. Усі допоміжні детермінанти дорівнюють нулю. Ми отримаємо правильних числових рівностей , тобто будь-які значення змінних задовольняють системі, отже, вона має нескінчену множину розв’язків.

2. Хоча б один із допоміжних детермінантів не дорівнює нулю: . Тоді -те рівняння набуває вигляду: , тобто є хибною числовою рівністю, і ніяке значення не перетворить його у правильну числову рівність. Таким чином, -те рівняння не має коренів, а тому система також коренів не має, вона несумісна.

Приклад. Повернемось до попереднього прикладу. Головний детермінант не дорівнює нулю, отже, система має єдиний розв’язок: Коренем системи буде матриця .

Розв’язування квадратних систем лінійних рівнянь методом оберненої матриці

Якщо матриця системи є невиродженою, то існує їй обернена . Помножимо обидві частини рівняння (1.11.) на матрицю зліва, отримаємо:

, або

.

Остаточно маємо формулу для знаходження єдиного розв’язку:

(1.14)

Приклад. У попередньому прикладі матриця системи не вироджена, отже, існує обернена до неї. Раніше вона була знайдена:

Тепер можна розв’язати систему за формулою (1.14):

.

Правило Крамера і метод оберненої матриці використовується тоді, коли ми маємо квадратну систему лінійних рівнянь. Існує більш універсальний метод, а саме – метод Жордана-Гаусса, який можна застосовувати завжди. Цей метод базується на так званих елементарних перетвореннях систем рівнянь та матриць.