Лабораторная работа №2

ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Цель работы:

- знать методы расчета и повышения надежности сложных (непа­раллельно-последовательных) систем;

2.1.Содержание работы

Ознакомление с необходимыми общими сведениями:

- составление условий работоспособности системы судового электрооборудования и автоматики и их преобразование в терминах входного языка пакета прикладных программ;

- осуществление расчета надежности и анализ результатов;

- выработка предложений по повышению надежности;

- составление отчета.

2.2.Общие сведения

Ряд современных систем судового электрооборудования и автоматики (многоагрегатные и многостанционные электроэнергетические системы, микропроцессорные системы управления и диагностирования и др.) имеют непараллельно-последовательную (в смысле надежности) структуру. Это вызвано тем, что такие системы имеют значительную структурную избыточность, причем резервные элементы соединены с основными (резервируемыми) не только параллельно или последовательно, но и по мостиковым и мажоритарным схемам. В теории надежности эти системы относят к категории сложных.

Для расчета такого показателя надежности, как вероятность без­отказной работы, используются обычно выражения:

; (2.1)

; (2.2)

где λ_i - интенсивность отказов i элемента системы; n - число элементов; t – наработка. Выражение (2.1) применяют при последовательном соединении элементов (с точки зрения надежности), а (2.2) – при параллельном. При последовательно-параллельной схеме соединений для соответствующих частей системы использует то или иное выражение. Для систем с непараллельно-последовательной структурой использование выражений (2.1) и (2.2) возможно лишь после соответствующих преобразований условий работоспособности. Необходимость этих преобразований предъявляет определенные требования к языку, на котором записываются условия работоспособности – он должен позволять достаточно просто и формально проводить требуемые преобразования. В этом отношении язык структурных схем расчета надежности вызывает значительные трудности.

2.3.Порядок выполнения

1. Определение надежности на основе условий работоспособности. Условия работоспособности сложных систем часто записываются в вице логических выражения.

Любой элемент системы с точки зрения надежности может находиться в двух состояниях – работоспособном или неработоспособном. Будем обозначать работоспособное состояние I элемента x_i, неработоспособ­ное - . Работоспособное состояние системы, состоящей из п последовательно (в смысле надежности) соединенных элементов, можно записать в виде конъюнкции . Для системы из параллельно (в смысле надежности) соединенных элементов условие работоспособности запишется в виде дизъюнкции .

Таким образом, условие работоспособности системы является, логи­ческой фикцией (ЛФ), переменных x_i, характеризующих состояние ее элементов:

. (2.3)

При последовательном соединении элементов x₁,…,x_i,…,x_n выражение (2.3) примет вид:

а при параллельном соединении –

.

Если отказы элементов x₁,...,x_n независимы то оценка вероятности безотказной работы осуществляется по выражениям:

- для последовательного соединения:

; (2.4)

- для параллельного соединения:

; (2.5)

где - вероятность безотказной работы i-го элемента. Выражения (2.4) и (2.5) аналогичны выражениям (2.1) и (2.2) и иллюстрируют переход от логической формы работоспособности к расчет­ным формулам для вероятности безотказной работы.

В случае, когда выражение (2.3) представляет собой повторную ЛФ, что бывает в непараллельно-последовательных структурах, подобный переход к расчету вероятностей неправомочен и возникает необходи­мость преобразования выражения (2.3) к бесповторной, или ортогональ­ной форме. Один из методов такого преобразования, называемый методом ортогонализации, основан на использовании следующих тождеств алгебры логики:

; (2.6)

; (2.7)

где k_i - конъюнкции переменных x_i, характеризующие работоспособные состояния объекта. Конъюнкции в правых частях выражений (2.6) и (2.7) попарно ортогональны, следовательно, они характеризуют несов­местные события. Поэтому вероятность события, выражаемого правой частью (2.6), определится как:

; (2.8)

где P_(Ki) - вероятность осуществления события, описываемого конъюнк­цией K_i. Так как , выражение (2.8) можно переписать в виде:

.

Рассмотрим пример, для повышения надежности микропроцессорных систем различного назначения часто используется схема мажоритарно­го включения. В этом случае несколько элементов (их число п>2) включены функционально параллельно, т.е. они выполняют одни и те же функции. Устройство считается работоспособным, если работоспособно большинство (например, два из трех или три из четырех) составляющих его элементов. Пусть устройство состоит из трех элементов, работос­пособное состояние которых обозначим x₁,x₂ и x₃ соответственно. Тогда условие работоспособности устройства описывается выражением

. (2.9)

Используя (2.6),получим

.

Применяя к этому выражению известное в алгебре логики правило де Моргана:

,

получим:

.

Используя (2.7) и применяя известные правила алгебры логики, окончательно получим:

.

В этом выражении все три конъюнкции попарно ортогональны, поэтому на основе (2.8) переходим к вероятностям:

,

где P_Xi – вероятность безотказной работы элемента x_i.

Заметим, что условия работоспособности (2.9) в виде структурной схемы надежности непредставимы.

Рассмотренный метод применим в случае, когда достаточно просто может быть получено исходное описание условий работоспособности.

2. Определение надежности с использованием метода несовместных гипотез. В более сложных ситуациях целесообразнее использовать для расчета надежности метод несовместных гипотез. Суть метода – в том, что относительно состояния отдельных элементов схемы формулируются гипотезы, т.е. они предполагаются или абсолютно надежными, или отказавшими. В этом случае сформулировать условия работоспособности оказывается значительно легче, так как схема соединений элементов объекта существенно упрощается. Рассмотрим применение метода гипотез на примере.

На рисунке 2.1 приведена схема судовой электроэнергетической системы (СЭЭС), обеспечивающей подачу электроэнергии потребителю П по двум фидерам, проложенным по противоположным бортам.

Система считается работоспособной, если потребитель получает энергию хотя бы от одного генераторного агрегата Г_i (i = 1,2) по любому фидеру.

Рисунок 2.1

Очевидно, элементы Г1 и А1, Г2 и А2 попарно включены последовательно. Заменим их элементами ГА1 и ГА2 соответственно (рисунок 2.2), при этом (аналогично для ГА2). Из рисунка 2.2 видно, что полученная схема не является параллельно-последовательной из-за наличия элемента А3.

Рисунок 2.2

Сформулируем относительно состояний элемента А3 (рисунок 2.2) две несовместимые гипотезы – Н1: А3, т.е. гипотезу о том, что элемент А3 абсолютно надежен, и Н2: , т.е. элемент А3 отказал. В случае справедливости гипотезы Н1 условия работоспособности очевидны:

. (2.10)

Структурная схема надежности при гипотезе Н1 (рисунок 2.3) легко получается из схемы, представленной на рисунке 2.2.

Рисунок 2.3

В случае справедливости гипотезы Н2 условия работоспособности также очевидны:

. (2.11)

Структурная схема надежности для случая справедливости гипотезы Н2 приведена на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4

Вероятность безотказной работы при использовании метода несов­местных гипотез определяется выражением:

, (2.12)

где P(Н_i) - вероятность выполнения i-й гипотезы; Р(У_i ) - вероятность выполнения условии работоспособности при справедливости i-й гипоте­зы. В рассматриваемом примере:

.

Вероятность гипотезы H1: А3 представляет собой не что иное как вероятность безотказной работы элемента A3,т.е.

.

Вероятность гипотезы Н2:АЗ равна вероятности отказа элемента A3, т.е.

Вероятности Р(Y₁) и Р(Y₂) определятся как:

3.Ознакомление о алгоритмом выполнения лабораторной работы (рисунок 2.5).

4.Запись условия работоспособности в виде ЛФ. Эта задача может быть выполнена либо путем непосредственного составления ЛФ, либо ме­тодом несовместных гипотез. Осуществить выбор метода, адекватного заданию.

5.Преобразование исходной ЛФ, описывающей условия работоспособ­ности в бесповторную форму. При этом в зависимости от сложности по­лученных в предыдущем пункте выражений используется метод ортогонализации или метод гипотез в сочетании с правилами алгебры логики.

Рисунок 2.5