2 Вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность появления хотя бы одного события из нескольких событий, независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, P(A)=1 - P(Ā1)*P(Ā2)…P(Ān)
Если события А1, А2,..., Аn - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы 1 из них соответственно равна Р(А)=1 – Р(Ā1)*РĀ1(Ā2)*Р Ā 1 Ā2(Ā3)*…*Р Ā1 Ā2 Ā3…Ān-1(Ān)
Пример: Два студента сдают экзамен. Первый выучил 20 из 30 вопросов , а второй 25 из 30. Какова вероятность того, что: а) оба студента сдадут экзамен, б) хотя бы 1 студент сдаст экзамен .
Решение : 1 . Обозначим события : А - 1-й студент сдал экзамен;
В - 2-ой студент сдал экзамен;
С - оба сдадут экзамен;
D - хотя бы 1 студент сдаст экзамен.
2. Определим вероятности:
P(A)=M/N=20/30=0,67 ; P(B)=M/N=25/30=0,83
а) Т.к. А и В независимые события, то Р(С) = Р(А*В) = 0,67 * 0,83 = 0,5561
б) P(D) = 1-Р(Ā)*Р( )= 1-0,33*0,17 = 0,9439, где Р(Ā) = 1 - Р(А) = 1-0,67 = 0,33
P( ) = 1 - P(В) = 1-0,83 = 0,17
3 Вопрос. Формула полной вероятности
На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу и называемых гипотезами.
Итак, если событие А может наступить только при условии появления одного из событий Н1,Н2,...,Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез H1,H2,...,Hn , на соответствующую условную вероятность события А:
Эту формулу называют формулой полной вероятности.
Пример: При слиянии акционерного капитала двух фирм, аналитики фирмы, которая получает контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Аналитики полагают, что шансы на уход в отставку председателя составляют 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки.
Решение : 1. Обозначим событие А - успех сделки;
2. Обозначим гипотезы: Н1 - председатель уйдет в отставку, H2 - председатель не уйдет в отставку.
3. Определим вероятность события А :
Гипотезы Нi |
Вероятности гипотез Р(Нi) |
Условные вероятности РНi(А) |
Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А) |
Н1 |
0,7 |
0,65 |
0,455 |
Н2 |
0,3 |
0,3 |
0,09 |
Сумма |
1 |
--- |
Р(А)=0,545 |
Или
по формуле:
4 Вопрос. Вычисление вероятностей гипотез . Формула Байеса.
Может случиться так, что событие А, которое может произойти только с одним из событий H1,H2,...,Hn, уже произошло и требуется определить, как изменятся после этого вероятности гипотез. Другими словами, учитывая, что априорные (доопытные) вероятности гипотез H1,H2,...,Hn- известны, необходимо вычислить, апостериорные (послеопытные) вероятности, т.е. найти условные вероятности РA(Н1),РA(Н2),...,РA(Нn). Переоценка вероятностей гипотез осуществляется с помощью формулы Байеса:
где P(A) — полная вероятность наступления события А.
Итак, формула Байеса позволяет пересмотреть значения вероятностей гипотез после того, как становится известным результат опыта, после которого появилось событие А.
Пример: Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подражает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого экономического роста - 0,2. Предположим что доллар подорожал в течение текущего периода. Чему в таком случае равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста.
Решение : 1 .Определим событие А - доллар подорожал;
2.Определим гипотезы Н1 - активный экономический рост
H2 - умеренный экономический рост
Н3 - низкий экономический рост.
3. Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения вероятностей найдем Pa(H1):
Тот же результат можно получить, используя таблицу следующего вида:
Гипотезы Нi |
Априорные вероятности гипотез Р(Нi) |
Условные вероятности РНi(А) |
Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А) |
Апостериорные вероятности РА(Нi) |
Н1 |
0,3 |
0,7 |
0,21 |
|
Н2 |
0,5 |
0,4 |
0,20 |
|
Н3 |
0,2 |
0,2 |
0,04 |
|
Сумма |
1 |
--- |
Р(А)=0,45 |
1 |
Таким образом, формула Байеса имеет следующее практическое применение. Пусть имеются несколько предположений, объясняющих некоторое явление. Эти предположения (гипотезы) проверяются с помощью опыта. Однако до опыта зачастую бывает трудно определить вероятности этих предположений, т.е. гипотез. Этим гипотезам приписывают из интуитивных или каких-либо других соображений определенные вероятности (они называются априорными). Часто такие вероятности называются субъективными. Затем проводят опыт и получают некоторую информацию об изучаемом явлении. На основании этой информации выполняют коррекцию доопытных (априорных) вероятностей. Далее, основываясь на результатах опыта, заменяют доопытные вероятности послеопытными (апостериорными). При этом вероятности гипотез после опыта могут измениться, например, вероятности некоторых гипотез могут настолько уменьшиться, что в дальнейшем ими можно вообще пренебречь. Итак, по мере накопления новой информации в результате опыта, будет проверяться верность (справедливость) той или иной гипотезы.
В настоящее время формула Байеса находит все более широкое применение при решении проблем управления в экономике и промышленности , связанных с недостаточной информацией. По мере поступления информации и ее накопления проводится корректировка различных решений.