5 Вопрос. Формула Бернулли . Повторные испытания

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание (опыт) повторяется многократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться событие А. При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определенного числа испытаний. Например, монету бросают 20 раз. Какова вероятность выпадения герба 6 раз?

В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события А в результате n испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события А в каждом испытании одинакова (постоянна).

Определение. Если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые испытания производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А в этих испытаниях одна и та же. При изменении условий испытаний вероятность события А от испытании к испытанию изменяется.

Примером независимых испытаний служит проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаковый, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

Итак, если вероятность наступления события А в серии n -независимых испытаний постоянна и равна р (0<р<1), то Р_n,m -вероятность того, что число наступлений этого события в n-независимых испытаниях будет ровно m - раз равна:

,

где р - вероятность наступления события А в каждом из n – испытаниях

q - вероятность ненаступления события А в n- испытаниях.

Пример: Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадает 4 раза?

Решение: по условию n=10, m=4, р=0,5, q=0,5

6 Вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшие) число появлений события

Наивероятнейшим числом появления события А в n -независимых испытаниях называется такое число m₀, для которого вероятность, соответствующая этому числу, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А. Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности всех возможных чисел появления события. Достаточно знать число испытаний n и вероятность появления события А в каждом отдельном испытании.

Наивероятнейшее число определяется по формуле:

np – q ≤ m₀ ≤ пр + р ,

где р - вероятность наступления события А в каждом из n - независимых испытаний;

q- вероятность ненаступления события А в каждом из n - независимых испытаний

n- число независимых испытаний

m₀- вероятнейшее число наступления события А в n-не зависимых испытаниях.

Итак, используя вышеуказанную формулу следует иметь в виду,что:

1. Если np - q - целое число, то существует два значения вероятнейшего числа, а именно: m₀=np - q и т₀=пр + p.

2. Если nр - целое число то существует одно наивероятнейшее число, а именно т₀=пр .

3. Если np - q - дробное число, то существует одно вероятнейшее число, а именно единственное целое число, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства: пр - q ≤ т₀ ≤пр + р .

Пример: Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производиться 8 выстрелов по цели. Каково наивероятнейшее число попаданий в цель в таком случае?

Решение: 1. По условию имеем n = 8, р = 0,7, q = l-p=1 - 0,7 = 0,3

2. пр - q ≤ т₀ ≤ пр + р .

8*0,7-0,3 ≤ m₀ ≤ 8*0,7 + 0,7

5,3 ≤ т₀ ≤ 6,3

т.к. пр - q = 5,3 - дробное число, то в соответствии с условием (3) m₀=6