1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Д.у. 1-го порядка записывают в виде:

или

.

Общим решением д.у. 1-го порядка называют функцию удовлетворяющую д.у. при любом значении произвольной постоянной С.

Замечание. Произвольную постоянную С (в различных ситуациях) можно обозначать и иначе:

Для выделения частного решения требуется одно начальное условие:

где х₀, у₀ — заданные числа.

Особыми решениями д.у. 1-го порядка называют те, которые нельзя получить из общего решения ни при каких значениях константы С.

Некоторые дифференциальные уравнения и методы их решения приведены в таблице 1.

Пример 1. Найти общее решение д.у.

Решение. Это дифференциальное уравнение с разделенными переменными (табл. 1, п. 1). Берем от обеих частей интеграл и добавляем произвольную постоянную (константу) С₁:

,

Получили общее решение уравнения (1) в неявном виде (общий интеграл).

Если удается, то от неявного вида переходят к явному. В данном случае (и всегда, когда имеются логарифмы) перейти к явному виду можно с помощью потенцирования. Потенцирование — избавление от логарифмов — обычно производят с помощью определения логарифма и его свойств. Для натуральных логарифмов это будут равенства:

1. 

2.  , где u > 0, v > 0;

3.

4.

5.

В нашем примере, заменяя предварительно С₁ на равносильное , получим:

,

,

— общее решение уравнения (1) в явном виде.

Таблица 1

Решение некоторых д.у. 1-го порядка

Вид уравнения	Метод решения
1. Д.у. с разделенными переменными	Интегрируем обе части уравнения и добавляем произвольную постоянную С.
2. Д.у. с разделяющимися переменными, т.е. приводящиеся к виду из п. 1.	Для разделения переменных заменяют на и используют тождественные преобразования:
2.1.	Заменяя , получим и далее, как в п. 1
2.2.	Уравнение приводится к виду п. 1 делением обеих частей на
2.3. Однородное д.у.	Переменные разделяют после замены
Замечание. Однородным является также уравнение вида М(х,у)dx = N(x,y)dy. В случае когда М(х,у) и N(х,у) — однородные функции одного измерения, т.е. если для них выполняется условие: (в этих условиях оно приводится к виду п. 2, 3)
3. Линейное д.у. 1-го порядка или (после деления на а0(х))	Решение у(х) ищется в виде произведения двух функций которые определяются из системы (см. пример 4): Из первого уравнения системы находят функцию v (без константы С), а из второго — функцию u (с константой С).
4. Уравнение Бернулли где и .	Решается как линейное (п. 3)

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Согласно рекомендациям (см. табл. 1, п. 2), заменяем :

или

Пример 3 (к задачам № 251-260, п. 2). Найти общее решение уравнения

(2)

Решение. Разделив обе части уравнения (2) на х, получим уравнение

Заменив

получим

,

или

— общее решение д.у. (2) в неявном виде.

Перейдем к явному виду:

— общее решение д.у. (2) в явном виде.

Пример 4 (к задачам № 251-260, п. 1). Найти решение уравнения

(3)

удовлетворяющее условию

(4)

Решение. Сначала найдем общее решение. Уравнение (3) — линейное д.у. 1-го порядка (см. табл. 1, п. 4). Решение этого уравнения будем искать в виде где и — новые искомые функции.

Тогда а из уравнения (3) следует, что

.

Подберем одну из функций (например, функцию v) так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль. В результате получим систему:

(5)

Решаем первое уравнение системы (5) (как уравнение с разделяющимися переменными):

Интегрируя (без константы С), получим:

Решаем второе уравнение системы (5) при найденной функции :

(с константой С)

Теперь можно найти

Выделим из этого общего решения частное с помощью начального условия (4). Для этого подставим х = 1, у = 7е³ в общее решение:

Следовательно, частным решением уравнения (3), удовлетворяющим условию (4), будет

Ответ: