1.4. Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным д.у. 2-го порядка называют уравнение вида

(6)

или (x) = 0, где — заданные функции.

Уравнение (6) называют линейным однородным дифференциальным уравнением ЛОДУ и неоднородным ЛНДУ, если  (x) = 0 уравнение (6). Если — числа, то уравнение называют линейным д.у. (однородным или неоднородным) с постоянными коэффициентами.

Полезно ознакомиться с теоремами о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений [2, теоремы 3 и 5.1]. После этого можно переходить к решению линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

(7)

Для этого уравнения сначала следует составить характеристическое уравнение

найти его корни k₁, k₂ [4, формула (3)] и записать общее решение по таблице 3. Примеры решения некоторых ЛОДУ приводятся в таблице 4.

Замечание. Характеристическое уравнение получается из д.у. (7) формальной заменой на , — на , — на

Таблица 3

Решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Характер корней k1 и k2	Вид общего решения (С1, С2 — произвольные постоянные)
1. (действительные различные)
2. (действительные равные)
3. (комплексно-сопряженные)

Таблица 4

Примеры решения дифференциальных уравнений

Д.у.	Характеристическое уравнение	Корни характеристического уравнения	Общее решение
1.		,
2.		,
3.
4.		( )
5.

Пример 8 (к задачам № 271-280). Найти общее решение д.у.:

(8)

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

, (9)

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни [4, пример 3]. Поэтому общее решение д.у. (15) записываем в виде (см. табл. 3, п. 3) при :

(10)

Воспользуемся теперь начальными условиями (9). Для этого сначала найдем производную

.

Подставляя сюда и в (10) х = 0, у = 3, у^' = 0, получим систему:

Отсюда находим C₁ = 3, C₂ = 6. Тогда из формулы (10) получим искомое частное решение .

Ответ: .

Теперь можно заняться ЛНДУ, т.е. уравнением (6). По теореме о структуре общего решения 5.1. [2, гл. 1, § 5]

,

где	y0н(х)	—	общее решение неоднородного уравнения (6);
	y00(х)	—	общее решение соответствующего однородного уравнения;
	yчн(х)	—	какое-нибудь частное решение (6).

Для линейных д.у. с постоянными коэффициентами мы научились находить y₀₀(х). Частное решение y_чн(х) уравнения (6) находят методом вариации произвольных постоянных [2, гл. 1, п. 5.2] или методом неопределенных коэффициентов. Последний метод более простой, но применяется только для ЛНДУ с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида (квазиполином). Примеры правых частей и способы выбора частных решений приводятся в таблицах 5 и 6.

Таблица 5

Выбор частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами

Вид правой части д.у.	Частное решение
1. — многочлен степени n	, где — многочлен степени n с неопределенными коэффициентами (например, , , ); r — число нулевых корней характеристического уравнения (если таких корней нет, то r = 0)
2. , где α — заданное число	где r — число корней характеристического уравнения, равных α
3. , где M, N, β — заданные числа	, где r — число корней характеристического уравнения, равных i
4. , где Qm(x) — многочлен степени m; Pn(x) — многочлен степени n	, где , — многочлены степени k с неопределенными коэффициентами; r — число корней характеристического уравнения, равных
Замечание. Пункты 1, 2, 3 таблицы 5 — это частные случаи п. 4 соответственно при λ = 0; λ = α; λ =i и m = n = 0.

Таблица 6

Примеры выбора для д.у.

Правая часть д.у., характеристическое уравнение, его корни k1, k2, λ и r	Вид частного решения (А, В, С — неопределенные коэффициенты)
1.  , , k1 = 1, k2 = 2, не является корнем характеристического уравнения, поэтому r = 0
2. , , k1 = 0, k2 = 3, , (один корень совпадает с )
3. , , k1 = 3, k2 = 3, ,
4. , , k1 = 1, k2 = 3, ,
5. , , k1 = 0, k2 = –2, ,
6. , , k1 = 2, k2 = –2, ,
7. , , k1,2 = ±2i, ,

Для отыскания неопределенных коэффициентов А, В, … подставляют функцию и ее производные , , … в данное д.у. и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях. В результате приходят к системе линейных алгебраических уравнений, из которой находят А, В, … .

Пример 9. Решить д.у.:

(11)

Решение. Это ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение . Для отыскания возьмем соответствующее однородное д.у.

Характеристическое уравнение имеет корни k₁ = –1, k₂ = –3, поэтому (см. табл. 3, п. 1)

Найдем теперь . Так как правая часть и совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то r = 1, поэтому

Находим отсюда , . Подставляя , , в д.у. (11), получим

,

,

Приравнивая коэффициенты при е ^–х (здесь можно просто сократить на е^–х), получим

.

Следовательно,

.

Но, тогда

.

Ответ: .

Пример 10. Найти общее решение д.у.:

(12)

Решение. Это уравнение отличается от д.у. (11) только правой частью. Поэтому его общее решение будет отличаться от общего решения д.у. (11) только частным решением . Найдем его. Так как правая часть д.у. (12) , то , и оно не совпадает ни с одним из корней k₁ = –1, k₂ = –3 характеристического уравнения. Поэтому r = 0 и частное решение ищем в виде

.

Для отыскания неопределенных коэффициентов А и В найдем производные:

,

.

Подставив функции , , в д.у. (12), получим

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получим систему

Отсюда находим

, .

Следовательно, частное решение

а общее решение д.у. (12) имеет вид

.

Замечание. Если правая часть ЛНДУ (6) имеет вид , то по теореме 5.2 о наложении решений [2, гл. II, § 5, п. 5.2] частное решение уравнения (6) равно

где — частное решение уравнения а — частное решение уравнения .

Пример 11 (к задачам № 281-290, в которых вместо у фигурирует х, а вместо х — переменная t). Найти общее решение уравнения:

. (13)

Решение. Рассматриваем два уравнения (11) (12):

и

Частным решением уравнения (11) является (см. пример 9) , а уравнения (12) — функция (см. пример 10).

Поэтому частное решение уравнения (13) имеет вид

,

а общее решение

.