13.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Означення. Диференціальне рівняння типу
(4.7)
називають
рівнянням
із
відокремленими
змінними,
тому що в цьому рівнянні змінні розділені,
тобто при
знаходиться тільки функція від х,
а при
- тільки функція від у.
Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке пов'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння
. (4.8)
Приклад
4.1.
Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язання.
,
,
.
Приклад
4.2.
Розв'язати рівняння
Розв'язання.
Представляють
Запишемо
рівняння в диференціалах
Для
відокремлення змінних треба розділити
кожну з частин рівняння на добуток
функцій
.
Множник
називається розділяючим
множником.
Змінні відокремлені і можна інтегрувати.
;
Отриманий розв'язок є загальним інтегралом диференціального рівняння. Можна одержати і загальний розв'язок диференціального рівняння, якщо перетворити отриманий розв'язок:
.
Приклад 4.3. Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язання. Розділяючи змінні, знаходимо:
,
.
Інтегруючи, отримаємо:
або
.
Останнє співвідношення є загальним інтегралом даного рівняння.
Приклад 4.4. Розв'язати задачу Коші
,
.
Розв'язання. Розділяючи змінні, знаходимо:
.
Інтегруючи, отримаємо:
,
.
Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.
Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння
,
,
.
Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові :
,
,
,
.
- розв'язок
задачі Коші.
13.3. Однорідні диференціальні рівняння
Означення.
Функція
називається однорідною
функцією n-го порядку
щодо змінних х
і у,
якщо при будь-якому t
справедлива тотожність
.
Приклад
4.5.
- однорідна функція першого порядку,
тому що
.
Приклад
4.6.
- однорідна функція другого порядку,
тому що
.
Приклад
4.7.
- однорідна функція нульового порядку,
тому що
.
Означення.
Рівняння виду
називається однорідним,
якщо функції при
і
є однорідними однакового порядку.
Однорідне
рівняння зводиться до вигляду
і за допомогою заміни змінних
,
де
,
,
або
зводиться до рівняння із змінними, які
відокремлюються.
Приклад 4.8. Розв'язати задачу Коші
,
.
Розв'язання.
- однорідні
функції першого порядку
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
- загальний
розв'язок.
Знайдемо
частинний розв'язок, який задовольняє
початковій умові
:
,
.
- розв'язок
задачі Коші.
13.4. Лінійні диференціальні рівняння
Означення. Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд
,
(4.9)
де
і
- задані неперервні функції від х
(або сталі).
Якщо
,
то рівняння називається однорідним.