2.1.3 Схема сложных процентов

Для долгосрочных финансовых операций используется схема сложных процентов . При этом после каждого начисления процентов осуществляется их капитализация , то есть на следующий год проценты начисляются к нара-щенной сумме. Наращенная сумма в течение T лет будет изменяться следующим образом.

S(1) = S(0)(1 + r ) ,

S(2) = S(1)(1 + r) = S(0)(1 + r)²

.

.

S(T) = S(T-1)(1 + r) = S(0)(1 + r)^T .

Из этих соотношений следует

1 + = = (1 + r)^T и

= (1 + r)^T - 1.

Сопоставим зависимости процентных ставок на интервале T для схем простых r^T_пр и сложных r^T_сл процентов как функции длины интервала T.

При Т = 0 r^T_пр = r^T_сл = 0 .При Т = 1 r^T_пр = r^T_сл = r . В Приложении 2.1 доказано, что при Т < 1 r^T_пр > r^T_сл , а при Т > 1 r^T_пр < r^T_сл . Графики зависимостей r^T_пр и r^T_сл от Т для r = 2 представлены на рисунке 1.3. Из этих зависимостей следует, что для кредитора на интервале Т < 1 более предпочтительна схема простых процентов , а на интервале Т > 1 - схема сложных процентов.

Если период T насчитывает нецелое число лет, то часто используется комбинированная схема. Пусть T = [T] +  , где [T] - целая часть T,  = T - [T]  0. Тогда при годовой ставке процента r процентная ставка за T рассчитывается по формуле

1 + = (1 + r)^[T](1 + r ).

Рис.2.3

Пример. Первоначальный капитал 5000 $ вложен на 4 года под 10 % годовых. Найти доход от вложения денег

а)по схеме простых процентов;

б)по схеме сложных процентов.

а) r = 10%,S(4) = S(0)(1 + rT) = 5000(1 + 40.1) = 7000$.

б) S(4) = S(0)(1 + r)^T = 5000(1 + 0.1)⁴ = 7320.5 $.

Пример. Пусть в условиях предыдущего примера T = 4.5 года.Тогда

S(T) = S(0)(1 + r)^[T](1 + r ),

[T] = 4 ,  = T - [T] = 4.5 - 4 = 0.5 ,

S(T) = 5000(1 + 0.1)⁴(1 + 0.10.5) = 7686.5 $.

Во многих случаях в практике финансовых расчетов приходится по известным значениям наращенной суммы S(T), капитала S(0) определять период T или годовую процентную ставку r. Для схемы простых процентов соответствующие соотношения имеют вид

, .

Для схемы сложных процентов

, .

Для расчета параметров рассматриваемых финансовых операций удобно использовать табличные процессоры для персональных компьютеров. Табличный процессор Excel содержит специальные табличные функции для расчета параметров S(T), T и r по схеме сложных процентов. Приведем корректную запись этих функций. Для Excel 2000 и ранних версий эти функции имеют вид

S(T)=БЗ(r;T;;S(0)) , T= КПЕР(r;;S(0);S(T)) , r = НОРМА (T;;S(0);S(T)) ^

и могут быть введены с помощью специального инструмента Excel - Мастера функций. Конечно же для вычисления этих параметров можно запрограммировать клетки электронной таблицы путем использования элементарных арифметических операций по соответствующим формулам (тем более это верно для всех соотношений схемы простых процентов). Однако для схемы сложных процентов рациональнее использовать приведенные табличные функции.

Следует заметить, что для Excel XP и старших версий названия финансовых функций изменилось. Соответствие старых и новых названий приведенов в приложении 2.2.