Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений служат основным инструментом для решения большого круга задач линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальных уравнений.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Решение. Составим матрицу системы
Проделаем над этой матрицей элементарные преобразования, чтобы привести ее к виду трапеции или треугольника. Для этого прибавим ко 2-ой и 3-ей строкам первую, умноженную на число –3, а к 4-ой строке прибавим первую, умноженную на число –2. Получим
∼
Для решения полученной новой системы необходимо поменять местами неизвестные (перенумеровать их). Этой операции соответствует перестановка столбцов в матрице системы. Получаем следующую матрицу:
Прибавим теперь к 3-ей строке матрицы вторую:
Система уравнений, соответствующая этой матрице, имеет вид трапеции
В
соответствии с общим правилом неизвестные
и
объявляются свободными неизвестными,
а неизвестные
,
которые однозначно выражаются через
свободные, являются базисными (или
главными):
откуда
.
Таким образом, множество решений системы
имеет вид:
,
где
- множество всех действительных чисел.
По этой теме рекомендуем решить следующие задачи:
№ 554-563, 567-581 [5], № 400, 443-447 [6]
Операции над матрицами
Пример.
Вычислить произведение матриц
и
Решение.
Заметим,
что произведение
получить нельзя, т.к. число столбцов
матрицы
не равно числу строк матрицы
.
Пример.
Найти матрицу
,
обратную к матрице
Решение.
По формуле обратной матрицы
,
где
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы
,
-
определитель матрицы
.
Определитель
.
Поэтому
существует. Для ее нахождения вычислим
все
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Тогда
Матрица
может быть найдена элементарными
преобразованиями над строками. Для
этого составляем матрицу размера
,
приписывая справа к
единичную матрицу
.
Получим матрицу, которую условно можно
записать как
.
Затем приводим матрицу
к виду единичной матрицы элементарными
преобразованиями над ее строками, причем
каждое преобразование, совершаемое над
строками матрицы
,
производим над строками расширенной
матрицы
.
Когда на месте матрицы
получится единичная матрица, справа от
нее будет стоять
,
т.е. расширенная матрица примет вид
.
Этот
метод основан на том, что, во-первых,
каждая невырожденная матрица элементарными
преобразованиями строк приводится к
виду единичной матрицы и, во-вторых,
каждое преобразование над строками
матрицы эквивалентно умножению ее слева
на соответствующую элементарную матрицу.
Таким образом, если
- последовательность элементарных
преобразований, приводящая
к единичному виду,
- соответствующие им элементарные
матрицы, то
- единичная матрица. Отсюда имеем
, т.е.
получается из
умножением последовательно на
.
Иными словами
получается посредством применения к
той же последовательности элементарных
преобразований над строками. Чтобы не
запоминать эту последовательность,
удобно проделывать их сразу над
расширенной матрицей
.
Пример. Найти матрицу , обратную матрице
.
Решение. Составляем расширенную матрицу
Вычитая из 2-ой строки расширенной матрицы первую, умноженную на 2, и из 3-й строки – первую строку, умноженную на 3, получаем
Вычитаем из 3-й строки полученной матрицы ее вторую строку, умноженную на 2:
Прибавим ко 2-й строке третью:
Умножим
2-ю строку на число
,
а третью – на
:
Вычитаем из 1-й строки вторую, умноженную на 2, и третью, умноженную на 3:
Итак,
Пример.
Найти матрицу
2-го порядка, удовлетворяющую уравнению
Решение.
Уравнение имеет вид
.
Здесь
- невырожденная матрица, так как
.
Поэтому существует обратная матрица.
Умножая обе части уравнения
слева на
,
получаем
.
Находим теперь обратную матрицу
:
Следовательно,
Пример. Найти матрицу 2-го порядка, удовлетворяющую уравнению
Решение. Метод, использованный в предыдущем примере, здесь не пригоден, так как матрица - вырожденная. Представим матрицу в виде
.
Получим
.
После перемножения имеем:
.
Из равенства матриц теперь вытекает
.
Очевидно, что системы совместны и в каждой из них второе уравнение можно отбросить и считать второе неизвестное свободным.
Отсюда,
полагая
получаем общий вид матрицы
,
удовлетворяющей данному уравнению:
,
где
- произвольные числа.
Заметим,
что матричное уравнение
или
в случае вырожденной матрицы
может оказаться неразрешимым, так как
соответствующие системы уравнений
могут быть и несовместными.
При изучении этого раздела рекомендуем решить следующие задачи:
№ 788-792,
796, 797, 799-802, 822-825, 827, 832, 836-846, 861-863, 867-869
.