Алгебраическая операция, группа, кольцо, поле
Пример.
Определить, какие из операций – сложение,
умножение, деление – являются
алгебраическими на подмножестве
.
Какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны ?
Решение.Множество
- это множество нечетных натуральных
чисел, начиная с числа 3. Сумма двух
нечетных чисел и разность двух нечетных
чисел являются числами четными, значит
сложение и вычитание на множестве
не являются алгебраическими операциями.
Можно сказать еще, что вычитание не
является алгебраической операцией, так
как нельзя, например, из 5 вычесть 7 (число
–2 не принадлежит данному множеству).
Умножение – алгебраическая операция
на
,
так как произведение двух нечетных
чисел является нечетным числом. Деление
не является алгебраической операцией
(3 нельзя разделить на 5, так как
).
Итак, единственная алгебраическая операция – умножение. Эта операция коммутативна и ассоциативна, так как произведение любых двух чисел коммутативно и ассоциативно.
Произвольная
бинарная алгебраическая операция на
множестве
может обладать одним или несколькими
из следующих
свойств: ассоциативность, коммутативность,
существование нейтрального элемента,
существование симметричного элемента
для каждого
.
Пример.
Бинарная алгебраическая операция “
”
задана таблицей на множестве
:
Какими
свойствами обладает эта операция ?
Решение. 1) Исследуем операцию на ассоциативность
Итак, операция является ассоциативной.
2) Исследуем операцию на коммутативность.
.
Отсюда следует коммутативность
рассматриваемой операции. Если операция
задана таблицей, то она является
коммутативной тогда и только тогда,
когда таблица симметрична относительно
главной диагонали.
3) Исследование на нейтральный элемент.
Элемент
является нейтральным относительно
рассматриваемой операции, так как
и
.
4)
Исследование на существование
симметричного элемента. Для элемента
симметричным является
,
так как
.
Элемент является симметричным для себя, так как .
Таким образом, операция обладает свойствами ассоциативности и коммутативности, для нее существует нейтральный элемент и для каждого существует симметричный элемент.
Пример.
Задает ли бинарную алгебраическую
операцию на множестве рациональных
чисел
правило
.
Какими свойствами обладает эта операция
?
Решение.
Так как для
,
то данное правило задает бинарную
алгебраическую операцию на
.
Пусть
.
Рассмотрим число
.
С другой стороны
.
Очевидно, равенство
имеет место лишь при
.
Поэтому операция не ассоциативна.Пусть
.
Тогда
.
Равенство
выполняется лишь при
.
Значит операция не коммутативна.Предположим, что некоторое
является нейтральным элементом
относительно нашей операции. Тогда для
имеем:
.
Из последнего равенства
,
а из предыдущего равенства получаем
.
Полученное противоречие доказывает
отсутствие нейтрального элемента.
Пример. Докажите, что множество чисел
является
аддитивной группой.
Решение.
Сложение – алгебраическая операция на
:
если
и
,
то
.
Сложение комплексных чисел ассоциативно, поэтому сложение на множестве - ассоциативно.
Нейтральный
элемент
.
Если
то число
.
Поэтому для всякого числа есть
противоположное.
Таким образом, является аддитивной группой.
Пример.
Является ли полем множество чисел
?
Решение.
Пусть
.
Тогда
.
.
где
.
Следовательно, - поле.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.
Найти наибольший общий делитель для чисел и и представить его в виде линейной комбинации этих чисел.
883, 
2853,2428, 1694,
684, 1576,
654, 1500,
763, 1757,
1652, 740,
695, 1600,
831, 2022.
Найти
наибольший общий делитель для чисел
и представить его в виде линейной
комбинации этих чисел.
Решить линейные диофантовы уравнения.
Вычислить,
при условии, что
- натуральное число:
Вычислить:
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Определить четность перестановки:
51. 2, 5, 1, 4, 3, 7, 8, 9, 6 ,
52. 3, 4, 1, 2, 5, 7, 9, 8, 6 ,
53. 1, 5, 9, 8, 6, 7, 4, 3, 2 ,
54. 3, 6, 9, 7, 8, 5, 4, 2, 1 ,
3, 1, 9, 6, 7, 4, 5, 2, 8 ,
7, 9, 1, 4, 6, 5, 2, 8, 3 ,
9, 1, 8, 6, 7, 5, 4, 3, 2 ,
8, 9, 1, 5, 7, 6, 4, 2, 3 ,
5, 1, 6, 9, 8, 7, 2, 3, 4 ,
1, 5, 6, 9, 7, 2, 8, 4, 3 .
Определить характер четности подстановок f и с помощью разложения этих подстановок в произведение транспозиций и найти произведение:
61.
f
62.
f
63.
f
64.
f
65.
f
66.
f
67.
f
68.
f
69.
f
70.
f
Вычислим определитель с помощью разложения по двум строкам или столбцам
71. 
72. 
73.
74. 
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
Выяснить, применимо ли к данной системе линейных уравнений правило Крамера. Если – да, то решить систему с помощью этого правила.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Найти обратную матрицу для заданной матрицы с помощью элементарных преобразований:
101. 
102. 
103. 
104. 
105. 
106. 
107. 
108. 
109. 
110. 
Решить матричное уравнение:
111. 
112. 
113. 
114. 
115. 
116. 
117. 
118. 
119. 
120. 
Через
обозначается соответственно множество
всех натуральных, целых, рациональных
и рациональных положительных чисел.
Является ли алгебраической операцией на данном множестве и какими свойствами обладает:
121.
Является ли аддитивной группой:
Множество
целых чисел кратных фиксированному
числу
.Множество .
Множество
.Множество всех иррациональных чисел, т.е. чисел не являющихся рациональными.
Множество
.Множество всех чисел вида
,
где
.Множество всех чисел вида
,
где
.Множество всех матриц вида
,
где
.Множество
,
если операция сложения задана следующей
таблицей:
Множество
, если операция сложения задана следующей
таблицей:
Являются ли полями следующие числовые множества:
Л И Т Е Р А Т У Р А
Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Мн.: Вышэйш.шк., 1968; 1976.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 6-ое изд. М.: Наука, 1971.
Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I. Мн.: Вышэйш.шк., 1984.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
Проскуряков И.В Сборник задач по линейной алгебре. 3-е изд.М.: Наука, 1974.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. II-е изд. М.: Наука, 1977.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.
Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966.
Грибанов В.И., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М.: 1964.
Тишин Юрий Владиславович
Жигота Алла Эдуардовна
Методические указания и
контрольные работы по
курсу “Алгебра и теория чисел”
для студентов-заочников
Ответственный за выпуск Ю.В.Тишин
Подписано
к печати 18.12.89. Формат 60
84/16.
Бумага тип. №
3.
Печать офсетная. Усл.печ.л.2,21. Уч.-изд.л. 1,9.
Тираж 100 экз. Заказ № 1246. Бесплатно.