12. Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума[1].

1.2 Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е. .

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Определение 1. Внутренние точки окрестности точки , удовлетворяющие системе уравнений:

,

называются стационарными точками функции для любой упорядоченной пары из - окрестности точки , т.е. .

Определение 2. Подозрительные на локальный экстремум являются критические точки, в которых хотя бы одна из частных производных , не существует или если они обе существуют, то равны нулю[1].

№13Неопределенный интеграл, основные теоремы.

Определение: совокупность всех первообразных у=f(х) на промежутке Х, называется неопределенным интегралом.

Основные теоремы:

• производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

• дифференциалом неопределенного интеграла является подынтегральное выражение

• неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до последнего слагаемого

• постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

• интеграл от алгебраической суммы равен сумме интегралов

• интеграл от произведения равен произведению интегралов

• интеграл от частного равен частному интегралов

• Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается ò f (х) dx , где ò - знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. (ò f (х) dx) ¢= f (х).

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d (ò f (х) dx) = f (х) dх.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

ò dF(x) =F(x) + C.

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. ò [f (х) + g (x)] dx =ò f (х) dx + ò g (х) dx.

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. ò a f (х) dx =a ò f (х) dx.

14

Определенный интеграл, основные теоремы.

Определение: определенным интегралом от непрерывной функции у=f(х) на отрезке (а,в) называют приращение какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке.

Теорема о среднем: если функция у=f(х) непрерывна на отрезке (а,в), где а больше в, то всегда найдется такое значение Е принадлежащие отрезку (а,в), что интеграл от а до в , будет представлен в виде

b

∫f(x)dx=f(E)(b-a)

a

Теорема Ньютона-Лейбница: пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке (а,в) и F(х) – первообразная функции f(х) на отрезке (а,в), тогда определенный интеграл для функции у=f(х) на отрезке (а,в) равен приращению первообразной F(х) на отрезке (а,в)

b

∫f(x)dx=F(b)-F(a)

a

№15

Интегрирование методом разложения.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы или других методов.

Например ò (х³ + 3sinx – 8) dx = ò х³ dx + 3òsinx dx – 8òdx =< используя формулы из таблицы>= х⁴/4 - 3 cos x – 8 х + С.

Интегрирование методом замены переменных.

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g¢( z)dz. Поэтому

ò f(х) dx = ò f [g(z)] g¢( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g^-1(х)] + С.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

ò udv = uv - ò vdu.

Интегрирование рациональной дроби

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

При этом справедлива следующая теорема: Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

#16. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

№17

• Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а.

• F₁(c,0), F₂(-c,0) – фокусы эллипса. A₁(a,0),A₂(-a,0), B₁(0,b), B₂(0,-b) – вершины эллипса

№18

• Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная равная

• Фокусы гиперболы обозначим через F₁ и F₂, а расстояние между ними - через 2с

№19

• Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

• y²=2px - каноническое уравнение параболы

№ 20. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

   Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0   и   A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны:

 

                         A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0                                                                   (8.10)

                         A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

  Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a={l,m,n}.

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

   Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

                                                                                         (8.11)

называемые каноническими уравнениями  прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ = {x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения (8.11) принимают вид:

                       -                                                              (8.12)

-          уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

                            .   

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ ,y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                    A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) =0

                                           (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

    После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

                    Ax+By+Cz+D =0,                                                                (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

21. Система линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

№22

или, в сокращенной записи А=( а_ij) i=1.. m; j=1.. n

Две матрицы А и В одного размера mхn называются равнымиесли они совпадают поэлементно,

т.е. а_ij =b_ij для всех i=1.. m; j=1.. n.

Классификация матриц

• Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом.

• Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

• Элементы матрицы а_ij, у которых i = j называются диагональными элементами и образуют главную диагональ.

• Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной .

• Единичной, называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

• Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,равны, т.е.

• Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю

№23операции над матрицами

• Умножение матрицы на число.

• Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой b_ij =λ а_ij для всех i=1… m; j=1… n.

• Сложение матриц.

• Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij =а_ij+ b_ij для всех i=1… m; j=1…n.

• Вычитание матриц.

• Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + ( −1 )∙В.

• Умножение матриц.

• Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

• Целой положительной степенью А^m квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т.е. А^m = А ∙А∙ …∙А

• Транспонирование матрицы.

• Транспонированием матрицы называется переход от матрицы А к А^т (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. А^т – называется транспонированной относительно матрицы А.

№24

• Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.

• Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁) или определителем первого порядка называется элемент а₁₁. Обозначается Δ₁ = а₁₁ или│А│= а₁₁.

• Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ₂ = │А│= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁ .

• Определителем матрицы третьего порядка

или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Δ₃ = │А│= а₁₁а₂₂ а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃

– а₁₂а₂₁а₃₃ – а₃₂а₂₃а₁₁.

Свойства определителей

• 1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

• 2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.

• 3. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

• 4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

• 5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.

• 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

• 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

• 8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: │АВ│=│А││В│.

№25

• Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

• Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной .