32. Решение системы линейных уравнений матричным методом.

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A - 1 — матрицу, обратную к матрице A:

Так как A − 1A = E (учитывая ассоциативность матричного произведения), получаем X = A - 1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (т.е. ненулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма

№33

• Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.

• Рассмотрим матрицу:

• эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

34. Сущность и условия применения теории вероятностей.

• Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

• Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

• Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Т.в. служит для обоснования матем и прикладной стат-ки.к-я исп-ся при планир-иии орган-ции произ-ва и др.

№35

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.

• Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

• Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

• Вероятность достоверного события равна единице.

• Вероятность невозможного события равна нулю

36.Вероятностное пространство.

Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.