Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
sin47° < sin157° - неверно, так как 47° и 157° принадлежат разным промежуткам монотонности. Чтобы выяснить, какое из чисел sin47° или sin157° больше, надо заменить углы 47° и 157° на углы, принадлежащие одному промежутку монотонности:
воспользуемся формулой sinα = sin(180° - α) для α =157°, sin157°= sin23°.
Далее, так как 47° (-90°; 90°), 73° (-90°; 90°) и функция sinx возрастает на промежутке [-90°; 90°], то sin 47° > sin23°, т.е. sin47° > sin157°.
tg 2 > 0 – неверно. Правильно будет: угол 2 радиана принадлежит промежутку (π/2; π), значит, tg 2 < 0.
Контрольный тест
Найдите:
а) область определения функции:
y =
;
y
=
;
y
= tg (3x+ π/4);
б) множество значений функции:
y =
-2сos2x;
y = ⅓ sinx +1; y =
.
Найдите период функции:
y=3,4sin 11x +2; y = tg(πх); y = сos(0,4x+ π/6).
Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие – нечетными, а какие – ни четными, ни нечетными:
y=xcosx;
y=sin(x+ 1); y= tg(x
).
Определить знак значения выражения:
sin129°cos95°tg260°;
;
Расположите в порядке возрастания числа:
а) sin π/12; sin 10π /9; sin 2,1 π; б) cos π/5; cos2,3 π; cos1,4 π;
в) tg π/7; tg2,9 π; tg4 π.
Укажите, на каком из рисунков изображен график функции у= cos3x.
а) б)
в)
г)
Ответы
а) х ≠ π/2 +πk , k – целое число; х≠-1/2 ; х ≠ π/12 +π/3 k , k – целое число;
б) [-2; 2]; [2/3; 4/3]; [-0; +∞) .
а) 2π/11; б)1/2; в)5π.
четная функция – tg x2 ; нечетная функция - xcosx ; не является ни четной функцией, ни нечетной – sin(x+1).
а)“плюс”; б) “плюс”.
а) sin 10π /9; sin π/12; sin 2,1 π; б) cos1,4 π; cos2,3 π; cos π/5; в) tgπ/7; tg2,9 π; tg4π.
б)
Свойства тригонометрических фунций в таблицах(1)
Функции
Свойства функции |
y= sinx |
y= cosx |
y= tgx |
Область определения (D) |
(-∞; +∞) |
(-∞; +∞) |
х ≠ π/2 + πk , k – целое число. |
Множество значений(E) |
[-1; 1]; |
[-1; 1]; |
(-∞; +∞) |
Наименьший период |
2π |
2π |
π |
Четность или нечетность функции |
Нечетная |
Четная |
Нечетная |
Знаки функции |
sinx > 0 для х (2πk; π +2πк), k Z; (первая и вторая четверти) sinx < 0 для х (π +2πк; 2πk), k Z. (третья и четвертая четверти)
|
cosx > 0 для х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k Z (первая и четвертая четверти) cosx < 0 для х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k (Z (вторая и третья четверти) |
tgx > 0 для х (πk; π/2 +πк), k Z,(первая и третья четверти) tgx < 0 для х (-π/2 +πк; πk), k Z (вторая и четвертая четверти)
|
Нули функции |
x= πк, k Z. |
x= π/2 +πк,k Z. |
x= πк, k Z. |
Промежутки возрастания |
(- π/2 +2πк; π/2+2πk), k Z.
|
(- π+2πк; 2πk), k Z. |
(- π/2 +πк; π/2 +πk), k Z. |
Промежутки убывания |
(π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k Z.
|
(2πк; π+2πk), k Z. |
- |
Наибольшее значение |
1 |
1 |
- |
Наименьшее значение |
-1 |
-1 |
- |
Графики |
|
|
|
Тестовые задания: свойства тригонометрических функций (2)
№ |
Задание |
Ответ |
1 |
Если sin α = -1, то α может принимать значения: |
1) α = 180°; 2) α = 90°; 3) α = - 90°; 4) α = -180°; 5) α = -270°.
|
2 |
Положительным числом является:
|
1)sin 193°; 2)cos 293°; 3) tg 293°; 4) сtg 293°; 5)cos 193 °. |
3 |
Наибольшее значение выражения -2 sin α + 5 равно: |
1) 5; 2) 3 ; 3) 7 ; 4) 2; 5) не существует.
|
4 |
Отрицательным числом является:
|
1) cos136° ∙ sin 193°; 2) cos 230° ∙ sin 290°; 3) cos336° ∙ sin 91°; 4) cos360° ∙ sin 290°; 5) cos360° ∙ sin 120°;
|
5 |
Верно ли, что
|
1) cos1 > соs2; 2) cos 3 > cos 4; 3) sin3 > sin2; 4) sin 3,5 >sin1,5; 5)cos 5 >cos 4 ?
|
6 |
Наименьший период функции y= sin 2x +cos3x равен |
1) 6π; 2) 3 π ; 3) π/6 ; 4) π/3; 5) не существует.
|
7 |
Наибольшее значение функции y = 3sin x - sin3x
|
1) 0; 2) 1 ; 3) 3 ; 4) 2; 5)4.
|
8 |
Пары чисел,(x;y) удовлетворяющих равенству sin πx+ sin5πx=y2 +2y+3 |
1)(1/2+ n;-1); 2) (½;-1); 3) ) (½; 1); 4) ) (½;n); 5) (1+ n;-1);
|
9 |
Укажите в градусах все углы β, удовлетворяющие условию 0°< β <720°, если cos31° = cos β |
1)31°, 329°, 391°,689°; 2) 3) 4) |
10 |
Наименьшее целое значение функции y= -3,28sin9x |
1) 0; 2) -1 ; 3) -3 ; 4) -2; 5)-4.
|
11 |
Пары чисел,(x;y)
удовлетворяющих равенству
|
1. 3.
5.(-1;4) |
12 |
Сумма квадратов наибольшего и наименьшего значений функции y = 2sin x +cos x
|
1.10;2.9;3.6;4;5.6 |
13 |
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции y = sin 4x +cos 4 x
|
1.5/8;2.1/4;3.3/8;4.2/5;5.3/4. |
14 |
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
|
1.3/2;2.1/2;3.1;4.2;5.3. |
15 |
Найдите множество значений x,
удовлетворяющих равенству
|
1.0; 2.2;3.1;4.2;5.3. |
16 |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству cosx = x2 +1 |
1.0 |
17 |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству cos πx = -x2 +6x -10 |
1.3 2.2; 3.-1; 4.-2; 5.-3. |
18 |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству
|
1.-1 2.2; 3.1; 4.-2; 5.-3. |
19 |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству
|
1.0,5 2.-0,2; 3.-0,1; 4.0,5; 5.1. |
20 |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству
|
1.2 2.2; 3.-1; 4.0,2; 5.0,5. |
2.(
1;2)
4.
