2.Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a< -1 , то уравнение sinx = a не имеет решений.

Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.

б)Ecли a= 1, то решение уравнения : x=

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= -

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=

д) Ecли |a| то x=(-1)ⁿarcsina+πn, n .

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде:

x = (-1)ⁿarcsin0,3+πn, n .

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a< -1 , то уравнение cosx = a не имеет решений.

Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.

б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x=

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x=

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=

д) Ecли a то x= arccosa+2πn, n .

Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде

x= arccos0,3+2πn, n .

Уравнение tgx = a, x – неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

Решение уравнения x = arctga + πn, n .

Например, решение уравнения tgx =3, будет x = arctg3 + πn, n .

Замечание: если a = 0, то x = πn, n .

Схема решения простейших тригонометрических уравнений

Нет корней Нет корней

■ ■

♦ ♦

● ●

Примеры

Решите уравнение:

а) sinx = 3; б) sinx = - ; в) cosx = -2,3; г) cosx = - ; д) tgx = .

а) Так как 3>1, то решений нет. Ответ: решений нет.

б) x =(-1)^karcsin(- )+ x =(-1)^k +

x =(-1)^k+1 + Ответ: (-1)^k+1 +

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x= , x= ;

Ответ: ;

д) tgx = , x = arctg + x = + Ответ: +

3.Виды тригонометрических уравнений:

1.Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Такие тригонометрические уравнения можно привести, например, к виду

af²(x)+bf(x)+c= 0,

где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из тригонометрических функций.

Например, 4sin²x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

4t² +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

D=9, t₁= -1;t₂=-0,25.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения x= - Решение второго уравнения

x =(-1)^k+1arcsin0,25+

Ответ: - ; (-1)^k+1arcsin0,25+

Пример

Решить уравнение sin² x + cosx +1= 0.

Решение

sin² x + cosx +1= 0, заменяя sin² x = 1- cos ²x, получим 1- cos ²x+ cosx +1= 0,

cos ²x - cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t² -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

D=9, t₁= -1; t₂ =2

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x=

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: ,