1.4. Интегральные преобразования Лапласа

В исследовании динамики автоматических систем широко применяются интегральные преобразования Лапласа, Хевисайда-Карсона, Фурье. Одна из привлекательных сторон этих преобразований в том, что они понижают сложность математических операций. Например, обыкновенные дифференциальные уравнения после интегрального преобразования превращаются в алгебраические, а уравнения в частных производных - в более простые, обыкновенные дифференциальные уравнения. Так как преобразование Лапласа является одним из основных математических инструментов теории автоматического управления, рассмотрим основные правила работы с ним.

Суть преобразования состоит в том, что для функции времени конструируется специальная функция новой переменной более простая, чем исходная. Функцию называют “оригинал”, а – “изображение”. Соответствие между ними обозначают так

(1.5)

Аналитическая связь между оригиналом и изображением устанавливается посредством прямого и обратного преобразований.

Прямое преобразование Лапласа определяет переход от функции к функции , который осуществляется по формуле

(1.6)

Приведем без доказательства примеры прямых преобразований над несколькими часто используемыми функциями времени.

1. Если , где A – постоянная величина, то изображением этой функции будет

(1.7)

2. Если оригиналом выступают производные , то их изображения определяются так

(1.8)

…

где f(0), ,…– начальные значения функции и ее производных. Этим преобразованием дифференцирование заменяется на более простую операцию - умножение.

3. Изображение интеграла от представляется следующим образом

(1.9)

Как отсюда видно этим преобразованием операция интегрирования заменяется на операцию деления.

Обратное преобразование Лапласа осуществляет обратный переход от функции к функции . Этот переход может быть сделан несколькими путями.

Первый путь состоит в применении так называемых “формул соответствия” между F(p) и , которые публикуются в специальных справочниках.

Второй путь это проведение обратного преобразования с использованием математического аппарата теории вычетов.

Третий путь считается основным и состоит в применении так называемых “формул разложения”, на правилах использования которых остановимся подробнее.

Формулы разложения применимы для изображений, которые можно представить в виде дроби числитель и знаменатель которой являются полиномами

(1.10)

при условии, что .

В теории преобразований Лапласа получены две формулы разложения, область использования которых определяется корнями полинома .

Если среди корней этого полинома p₁, p₂,…, p_n нет кратных, то оригинал определяется по формуле

(1.11)

Если в уравнении есть кратные корни, то должна использоваться другая формула

(1.12)

Эта формула написана для полинома имеющего q простых корней (p₁, p₂,…, p_q) и m кратных корней, один из которых имеет кратность r.

Примечание. Практическая работа с формулами разложения приводит к двум алгебраическим задачам.

Первая задача - это нахождение корней . Эта задача может представлять серьезную самостоятельную проблему при работе с полиномами больших степеней. В специальной технической и математической литературе описываются различные аналитические и графические методы определения корней.

Вторая задача возникает, когда среди корней есть комплексные, и оригинал, полученный в комплексной форме, приходится преобразовывать в вещественную форму.

Пусть среди корней V(p) есть комплексные корни . Их подстановка в формулу разложения даст оригинал тоже в комплексной форме

Для перехода к вещественной форме записи поступают так. Записывают

и , где , , и по формуле Эйлера находят

.

Теперь оригинал будет записан в вещественной форме следующим образом

.

Некоторые теоремы и предельные соотношения. 1. Теорема запаздывания (теорема о смещении в области оригиналов). Если функции f(t) соответствует изображение F(p) , то функции будет соответствовать изображение . Для доказательства введем новую переменную , и учтем, что и

.

2. Теорема смещения в области изображений. Если изображению F(p) соответствует f (t), то изображению соответствует функция . Действительно

.

3. Теорема о предельном переходе. Определяет формулу нахождения начального значения функции f(0) по изображению, без применения обратного преобразования

.

Пример 1.3. Записать интегральное преобразование Лапласа для дифференциального уравнения

где A – постоянная величина, и – начальные условия.

Решение. Запишем изображения всех составляющих исходного уравнения, то есть изображения функции, ее производных и правой части:

, , .

Так как правая часть уравнения постоянная величина, то ее изображением будет

После подстановки всех изображений в исходное уравнение получим операторное уравнение

.

Решением этого уравнения является функция

где , , .

Пример 1.4. Найти оригинал для изображения

Решение. Полином имеет корни , . И так как эти корни не кратные оригинал определяем по формуле разложения (1.11). Учитывая, что , оригинал будет такой

Пример 1.5. Найти оригинал для

Решение. Среди корней корень второй кратности, поэтому оригинал определяется по формуле разложения (1.12). Корню соответствует оригинал

Корню соответствует оригинал

Следовательно,