Лабораторна робота №1 характеристики елементів автоматичних систем

Мета роботи: ознайомлення з основами функціонування автоматичних систем, що містять як лінійні, так і нелінійні елементи, а також вивчення типових динамічних ланок лінійних автоматичних систем і їх характеристик.

Завдання на роботу

1. Погодити з викладачем завдання щодо типу і параметрів досліджуваних динамічних ланок.

2. За допомогою пакету Simulink побудувати реакцію кожної типової ланки (див. таблицю 1.1) на ступінчастий вхідний сигнал.

3. Визначити вплив коефіцієнтів, що входять в опис кожної ланки на параметри перехідного процесу.

4. Обчислити та побудувати амплітудно-фазо-частотні (АФЧХ) характеристики заданих динамічних ланок за допомогою пакету MATLAB.

1. . Стислі теоретичні відомості

Б ільшість автоматичних систем складаються з деяких типових за призначенням пристроїв або функціональних елементів, сукупність яких приведена в загальному вигляді на рис.1.1. До числа цих елементів входять: елемент порівняння ЕП, чутливий елемент ЧЕ, підсилювально-перетворюючий пристрій УПУ, виконавчий пристрій ВП і об'єкт керування ОК. Елемент порівняння разом з чутливим елементом утворює дискримінатор, а весь ланцюжок показаних послідовно сполучених ланок (окрім об’єкту керування) – пристрій керування. Наявність петлі головного зворотного зв’язку ГЗЗ означає, що представлена система є замкненою.

Елементи автоматичних систем характеризуються за їх призначенням, принципом дії, конструкцією, електричною схемою, тощо. Кожен з цих елементів має вхід та вихід і описується математичними виразами, що пов’язують його вихідну величину з вхідною. Даний математичний зв’язок визначає тип ланки, до якої відноситься окремий досліджуваний елемент. При цьому розрізняють два випадки:

– залежність вихідної величини елементу від вхідної відповідає сталому режиму;

– залежність вихідної величини елементу від вхідної відповідає несталому (перехідному) режиму.

У першому випадку залежність “вихід-вхід” є статична характеристика, в другому – динамічна характеристика.

Статична характеристика елементу описується алгебраїчними рівняннями. По вигляду статичної характеристики елементи автоматичних систем поділяються на дві групи – лінійні ланки і нелінійні ланки.

Статична характеристика нелінійної ланки в загальному випадку має наступний вигляд: x₂ = F(x₁), де F(…) – деяка нелінійна функція свого аргументу. Важливим є те, що статичні характеристики ланок замкнених автоматичних систем є непарними функціями, тобто . Це означає, що зі зміною знаку вхідної величини змінюється знак його вихідної величини, що принципово необхідне для функціонування замкнених автоматичних систем. За наявності навіть невеликої асиметрії в характеристиці одного з елементів виникає похибка автоматичної системи у вигляді зміщення керованої величини у(t) відносно задаючої дії g(t).

Динамічна характеристика ланки автоматичної системи визначається диференціальним рівнянням, яке відображає динамічні процеси в ній. Слід сказати, що різні за фізичними принципами дії елементи часто описуються однаковими диференціальними рівняннями, тому їх відносять до однієї групи динамічних ланок.

Під динамічною ланкою розуміється пристрій будь-якого фізичного вигляду і конструкції, що описується певними диференціальними рівняннями.

Класифікація ланок автоматичних систем проводиться саме за виглядом диференціального рівняння. Одні і ті ж рівняння можуть описувати найрізноманітніші пристрої (механічні, гідравлічні, пневматичні, електричні, тощо). Для теорії автоматичного керування це буде один і той самий тип ланки.

Позначивши вхідну величину ланки (рис.1.2) через x₁, а вихідну – через x₂, проведемо класифікацію ланок по вигляду їх реакції на вхідну дію.

У ланках позиційного, або статичного типу в усталеному режимі вхідна і вихідна величини зв’язані лінійною залежністю x₂ = kx₁ (рис.1.3, а). Коефіцієнт пропорційності k між вхідною і вихідною величинами є коефіцієнтом підсилення ланки.

У ланках інтегруючого типу в усталеному режимі лінійною залежністю зв’язані похідна вихідної величини і вхідна величина (рис.1.3, б). В цьому випадку для усталеного режиму буде справедливим вираз , звідки і пішла назва цього типу ланок. Коефіцієнт пропорційності k в цьому випадку також є коефіцієнтом підсилення ланки. Якщо вхідна і вихідна величини ланки мають однакову розмірність, то коефіцієнту підсилення відпо

відає розмірність, с^–1.

У ланках диференціюючого типу лінійною залежністю зв’язані в усталеному режимі вихідна величина і похідна вхідної (рис.1.3, в), звідки і пішла назва цього типу ланок. Коефіцієнт пропорційності k є коефіцієнтом підсилення ланки. Якщо вхідна і вихідна величини ланки мають однакову розмірність, то коефіцієнту підсилення відповідає розмірність, с.

Класифікація ланок проводиться за виглядом диференціального рівняння або, що те ж саме, за виглядом передавальної функції ланки.

Під типовими динамічними ланками розуміють ті, які описуються диференціальними рівняннями не вище другого порядку:

.

Якщо ввести оператор диференціювання , то можна записати в операторній формі:

,

звідки одержуємо

,

де і – поліноми із формули .

Вираз по вигляду співпадає з визначенням передавальної функції як відношення перетворення по Лапласу вихідної змінної до перетворення по Лапласу вхідної змінної при нульових початкових умовах.

Відзначимо, що . Це означає, що коефіцієнт k є коефіцієнтом підсилення при нульовій частоті («постійному струмі»).

Комплексні числа, що є коренями многочлена B(p), називаються нулями передавальної функції, а корені многочлена A(p) – полюсами.

Опис типових динамічних ланок приведений в таблиці 1.1.

Таблиця 1.1. Типові динамічні ланки
№	Назва ланки	Реакція ланки на вхідну дію	Передавальна функція ланки
1	Інтегруюча	Інтегруюча
2	Диференціюючи	Диференціююча	D(p) = kp
3	Підсилююча (безінерційна)	Статична	D(p) = k
4	Аперіодична 1-го порядку (інерційна)	Статична
5	Аперіодична 2-го порядку (всі корені дійсні)	Статична
6	Коливальна	Статична
7	Консервативна	Статична
8	Інтегруюча з запізненням (реальна інтегруюча)	Інтегруюча
9	Диференціююча з запізненням (реальна диференціююча)	Диференціююча
10	Форсуюча	Диференціююча
11	Ізодромна	Інтегруюча
12	Стабілізуюча	Диференціююча

Часові характеристики динамічної ланки є залежністю вихідного сигналу системи від часу при подачі на її вхід деякого типового впливу. Зазвичай виконується аналіз виходу системи на одиничний стрибок (функція Хевісайда).

Одиничний стрибок 1(t) визначається умовами:

Реакція системи автоматичного керування на одиничний стрибок називається перехідною функцією системи і позначається h(t). При неодиничній ступінчастій дії g(t) = N1(t), де N = const, відповідно до принципу суперпозиції вихідна реакція системи буде у(t) = Nh(t).

Найважливішим поняттям, широко вживаним в ТАК, є поняття частотних характеристик. Саме методи, засновані на застосуванні частотних характеристик, є найбільш конструктивними і зручними в інженерній практиці. Вони найбільш застосовні в класичному випадку системи з одним входом і виходом.

Амплітудно-фазо-частотною характеристикою (АФЧХ) блоку з передавальною функцією D(p) називається комплексна функція дійсного аргументу , яка отримана при підстановці .

Підстановка в зображення по Лапласу довільної функції (оригіналу) перетворює перетворення Лапласа на спектр або, що є те ж саме, в перетворення Фур’є. Тому від передавальної функції переходимо до спектрів вхідного і вихідного сигналів.

описує зміну спектру при проходженні через блок з передавальною функцією D(p). Формула справедлива для будь-якого вхідного сигналу. АФЧХ описується наступною формулою:

де  – АЧХ – Амплітудно-частотна характеристика;

 – ФЧХ – Фазо-частотна характеристика.

Ч астотні характеристики показують амплітуду і фазу сталого гармонійного сигналу на виході під час подачі на вхід гармонійного сигналу одиничної амплітуди.

АФЧХ зручно зображати у вигляді годографа на комплексній площині з координатами і (рис.1.4).

Параметром на кривій годографа є частота, що змінюється в інтервалі від 0 до . Для довільної частоти радіус вектор в точці показує амплітуду вихідного сигналу, а кут – зсув фази між вихідним і вхідним сигналом. Іноді ще називають комплексним коефіцієнтом передачі, маючи на увазі те, що АФЧХ є узагальненням звичайного коефіцієнта підсилення k на випадок його залежності від частоти і наявний фазовий зсув, який також залежить від частоти.