Зміст протоколу

1. Титульний лист.

2. Мета роботи.

3. Короткі теоретичні відомості.

4. Задана перехідна функція розімкненої системи.

5. Розрахунок передавальної функції замкненої системи.

6. Перехідна характеристика замкненої системи

7. Результати перевірки отриманих результатів.

9. Висновки по всіх отриманих в роботі результатах.

Контрольні запитання

1. Поняття стійкості автоматичної системи. Необхідна і достатня умови стійкості.

2. Методика розрахунку реакції системи на вхідний ступінчастий сигнал в програмному пакеті Matlab і її додатку – програмі Simulink.

3. Функція Хевісайда. Перехідна характеристика.

4. Передавальна функція, її зміст.

Лабораторна робота №5 аналіз стійкості замкнених автоматичних систем

Мета роботи: дослідження стійкості замкненої автоматичної системи, представленої у вигляді частотної передавальної функції.

5.1. Завдання на роботу

5. Перевірити систему автоматичного керування на стійкість за допомогою критерію Раута-Гурвиця (варіант завдання взяти із роботи №4).

6. Побудувати годограф Найквіста розімкненої системи, на підставі якого зробити висновок про стійкість замкненої системи.

7. Перевірити одержані результати шляхом комп’ютерного моделювання перехідних процесів розімкненої і зімкненої системи в пакеті Simulink.

5.2. Стислі теоретичні відомості

Стійкість систем автоматичного керування є одним з основних умов її функціонування і включає вимогу затухання в часі перехідних процесів.

Система є стійкою, якщо при обмеженому вхідному сигналі її вихідний сигнал також є обмеженим. Якщо система стійка, то вона протистоїть зовнішнім впливам, а виведена зі стану рівноваги знову до нього повертається. Система з перехідним процесом, що розходиться, буде нестійкою і непрацездатною.

Вперше властивості стійкості були досліджені російським ученим О. М. Ляпуновим в 1892 р. в роботі «Загальна задача про стійкість руху». Необхідна і достатня умова стійкості полягає в тому, щоб всі корені характеристичного рівняння (полюси передавальної функції системи) мали негативні дійсні частини. Інакше кажучи, умовою стійкості системи є розташування всіх полюсів в лівій комплексній напівплощині. Тоді всі полюси даватимуть затухаючу реакцію.

Вище сформульована умова стійкості справедлива як для лінійних, так і для лінеаризованих систем. Проте у разі нульових або лише уявних коренів характеристичного рівняння питання про стійкість лінеаризованої системи може бути вирішено тільки на підставі дослідження її нелінійних рівнянь.

В кінці XIX і першій половині XX ст. задача обчислення коренів характеристичного рівняння високого порядку викликала великі труднощі. Тому були запропоновані декілька непрямих методів оцінки стійкості, що дозволяли обійтися без обчислення коренів – за значеннями коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Критерії стійкості розділяють на алгебраїчні і частотні. Зокрема, до алгебраїчних критеріїв відноситься критерій Раута-Гурвиця, до частотних критеріїв – критерій Найквіста.

Критерій Раута-Гурвиця є алгебраїчним критерієм і застосовується до коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи.

Нехай маємо характеристичне рівняння замкнутої системи:

.

З коефіцієнтів характеристичного рівняння складають матрицю за правилом:

1. По діагоналі записуються коефіцієнти від до .

2. Кожен рядок доповнюється коефіцієнтами із зростаючими індексами зліва направо так, щоб чергувалися рядки з непарними і парними індексами.

3. У разі відсутності індексу, а також, якщо він менше 0 або більше n, на його місце пишеться 0.

Таким чином, матриця Раута-Гурвиця набуває наступного вигляду:

Критерій стійкості формулюється так:

Для того щоб система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб при були позитивними всі n діагональних визначників, що отримуємо з матриці Раута-Гурвиця.

Перші три визначники матриці Раута-Гурвиця мають наступний вигляд:

Таким чином, критерій Раута-Гурвиця дозволяє судити про абсолютну стійкість, але не дає можливості оцінювати відносну стійкість за коренями характеристичного рівняння.

Частотний критерій стійкості Найквіста аналізує АФЧХ розімкненої системи.

Нехай маємо передавальну функцію (ПФ) розімкненої системи .

Для знаходження дійсної та уявної частини частотної ПФ потрібно звільнитися від уявності в знаменнику шляхом множення чисельника і знаменника на комплексну величину, спряжену до знаменника, а потім виконати розділення на дійсну і уявну частини. Передавальна функція набуває вигляду

.

Задаючись різними значеннями частоти, можна знайти множену пар: . Потім по цім парам будується АФЧХ на комплексній площині.

Основні властивості АФЧХ розімкненої системи:

1. Якщо розімкнена система не має інтегруючих ланок, то при її АФЧХ починається на дійсній осі в точці (де K – коефіцієнт підсилення розімкненої системи). Закінчується АФЧХ на початку координат при (рис.5.1, а).

2. Якщо розімкнена система має одну інтегруючу ланку, то її АФЧХ починається при в нескінченності на негативній уявній напівосі, а закінчується на початку координат при (рис.5.1, б).

К ритерій стійкості Найквіста формулюється так:

1. Якщо розімкнена система стійка або знаходиться на межі стійкості, то для того, щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкненої системи при зміні частоти від 0 до не охоплювала точку з координатами –1, j0.

2. Якщо розімкнена система нестійка, а її передавальна функція має m полюсів праворуч від уявної осі на комплексній площині, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкненої системи при зміні частоти від до охоплювала m разів точку з координатами –1, j0.

При використанні цього критерію потрібно враховувати дві особливості:

1. Якщо розімкнена система знаходиться на межі стійкості, то її АФЧХ прямує в нескінченність. Для перевірки критерію Найквіста потрібно подумки з’єднати кінець АФЧХ дугою нескінченно великого радіусу з позитивною дійсною напіввіссю.

2. На практиці АФЧХ може будуватися тільки для позитивних частот ( ). При застосуванні критерію Найквіста вважається, що гілка АФЧХ для негативних частот симетрична щодо речової осі.

Фізичний сенс критерію стійкості Найквіста полягає в тому, що система буде нестійка, якщо фаза вихідного сигналу протилежна фазі вхідного сигналу, а коефіцієнт підсилення >1.