Тема: Основной закон вращательного движения

1. Момент силы, момент инерции.

Мы рассмотрели кинематику вращательного движения, т. е. описание вращательного движения с помощью понятий углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения. Рассмотрим теперь динамику, т. е. то, что приводит к вращательному движению. Точно так же, как существует аналогия между уравнениями кинематики поступательного и вращательного движений, имеются вращательные эквиваленты и для динамики. Например, первый закон Ньютона для вращательного движения гласит, что свободно вращающееся тело будет сохранять состояние покоя или вращения с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока на него не действуют какие-либо внешние силы (или, как мы скоро увидим, моменты сил), стремящиеся изменить это движение. Ясно, что для того, чтобы тело начало вращаться относительно оси, необходимо наличие силы. Но каким при этом будет направление силы, а также где приложена эта сила?

Известно, что передвинуть массивный предмет (например, ящик) вручную тяжело, гораздо легче передвинуть его с помощью длинной палки, трубы (лома), т.е. с помощью рычага, причем, чем длинней этот рычаг, тем легче это сделать (прикладывается меньшая сила при большей длине рычага). Вспомним знаменитое изречение Архимеда (ок. 286–212 гг. до н.э.): «Дайте мне точку опоры (и рычаг) и я переверну Землю».

Любое тело будет совершать вращательное движение только в том случае, если приложенная сила:

1. Не будет совпадать с осью вращения

2. Если направление силы не будет проходить через ось вращения.

Д ействие силы на твёрдое тело характеризуется тремя величинами: модулем, направлением и линией действия. Все три величины можно объединить в одну, введя понятие момента силы. Необходимо отметить, что моменты сил можно определять относительно центра (некой характерной точки) и оси, причём эти понятия связаны друг с другом, но не являются эквивалентными. Их следует различать. Момент силы относительно центра является величиной векторной, момент той же силы относительно оси представляется скалярной величиной, потому, что, по сути, представляется проекцией вектора момента силы на эту ось.

Пусть в точке А, характеризуемой радиус-вектором , приложена сила . Под действием этой силы тело начнет вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. Момент этой силы относительно точки О определится векторным произведением радиус-вектора и силы:

(1)

Модуль момента силы

(2)

Направление вектора момента силы определяется по правилу правого винта. Направление момента силы относительно точки можно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор момента силы относительно неподвижного центра направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и центр О, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки.

Если на тело действует несколько моментов сил, то движение происходит под действием момента результирующей силы.

Момент силы считается положительным, если он стремится вращать тело против часовой стрелки. Отрицательным считается момент силы, стремящийся поворачивать тело в направлении, совпадающем с ходом часовой стрелки. Момент силы измеряется в [Н⋅м]. Момент силы может быть равен нулю только в том случае, если дли- на плеча силы равна нулю.

2. Основное уравнение динамики вращения

Разобьем тело на множество материальных точек, характеризующихся массой m_iискоростьюv_i . Обозначим f_i, силу действующую на i –ю точку со стороны k-й материальной точки, а через F_i - равнодействующая всех сил, приложенных к i –й точке. Все силы спроецируем на направление перпендикулярное телу (вектора убираются).

П о второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет вид:

Учитывая связь линейной и угловой скорости:

Умножим обе части уравнения на r_i:

Тогда уравнение для всего тела:

(3)

- угловое ускорение

Сумма произведения масс материальных точек на квадрат расстояния от этих точек до оси вращения называется моментом инерции материальных точек.

(4)

Момент инерции – это мера инертности тела при его вращательном движении.[ кг∙м² ]

Тело имеет момент инерции в том случае, если оно имеет ось вращения.

Сумма моментов внутренних сил f_i взаимодействия между материальными точками тела равна нулю:

- равна моменту результирующей силы.

Таким образом, уравнение (4) имеет вид:

или

(5)

Уравнение (5) называется основным законом динамики вращательного движения.

3. Теорема Штейнера

В динамике вращательного движения твёрдого тела момент инерции играет такую же роль, как и масса в динамике поступательного движения. Но в отличие от поступательного движения при вращении существенным является распределение массы относительно оси вращения. Вот тут и проявляется вся важная многозначность моментов инерции. Каждое тело, независимо от типа совершаемого им движения, обладает вполне определённым моментом инерции, величина которого зависит от геометрических и физических особенностей тела. Если известна плотность тела, то момент инерции определяется как

Где

Р ассмотрим методику вычисления момента инерции геометрически простых тел, например, момент инерции однородного диска радиусом r и высотой b. Учтем, что

Момент инерции диска относительно оси z равен:

Выражения для моментов инерции некоторых однородных тел пра­вильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центр масс приведены в табл.

Тело	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса r и массой m
Сплошной цилиндр радиуса r и массой m
Тонкое кольцо радиуса r и массой m
шар радиуса r и массой m
Прямой тонкий стержень длинойl и массой m

Момент инерции тела относительно некоторой оси фактически описывает распределение массы тела относительно этой оси. Поэтому он существенно зависит от того, вокруг какой оси рассматривается вращение и как распределена масса тела относительно этой оси. Например, момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, в 4 раза больше, чем момент инерции этого стержня относительно его оси симметрии.

При вычислениях моментов инерции часто бывает полезной теорема о переносе осей инерции (теорема Штейнера): Момент инерции тела относительно произвольной оси z’ равен сумме моментов инерции тела относительно параллельной ей оси z, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

Р ассмотрим момент инерции стержня, если ось вращения проходит через один из концов стержня Z₁, если

4. Закон сохранения момента импульса

Из основного закона динамики вращательного движения можно получить закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

(6)

М оментом импульса абсолютно твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных материальных точек:

(7)

Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта. Единицы измерения

Так как связь линейной и угловой скорости: , то

(8)

Так как то

Момент импульса:

или (9)

Момент количества движения твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции данного тела относительно той же оси на угловую скорость.

Из основного закона динамики вращательного движения:

или

Таким образом (10)

Формула (10) называется основным законом динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна моменту результирующих сил.

Если на тело не действуют внешние силы, то момент внешней силы 0, а момент импульса есть величина постоянная.

, (11)

Таким образом, (11) закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент импульса сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

П римеры.

ЗАДАЧА

Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил

( ), лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил относительно рассматриваемой оси является соотношение …

ЗАДАЧА

Д иск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. К нему прикладывают одну из сил

( ), лежащих в плоскости диска и равных по модулю. Верным для угловых ускорений диска является соотношение…

1. ε ₃> ε ₂>ε₁, ε ₄= 0

2. ε ₁> ε ₂> ε ₃, ε ₄= 0

3. ε ₁<ε ₂< ε ₃< ε ₄

4. ε ₁= ε ₂= ε ₃, ε ₄= 0

 ЗАДАЧА

Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и кольцо; причем массы m и радиусы R их оснований одинаковы. Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …

1) 2) 3) 4)

З адача 1. Паук ползёт по ободу колёсика малой массы, которое может вращаться без трения вокруг неподвижной оси. Сохраняется ли момент импульса системы «паук – колёсико» относительно оси вращения, если ось колёсика закреплена: а) вертикально; б) горизонтально?

РЕШЕНИЕ:

1 . При вертикальном закреплении оси вращения z сила тяжести паука всё время перпендикулярна вектору его линейной скорости, т.е. момент сил в этом случае равен нулю =0, Момент импульса в этом случае сохраняется.

2. При горизонтальном расположении оси вращения момент силы тяжести паука относительно оси вращения не остаётся постоянным, он изменяется, принимая максимальную величину, при равенстве плеча радиусу колёсика. В этом случае момент импульса не сохраняется. Даже если паук не будет перемещаться относительно колёсика, т.е. его собственный импульс будет равен нулю, то колёсико придёт в движение.

З адача 2. Человек стоит на скамье Жуковского Н.Е. (круглая, горизонтальная, вращающаяся вокруг вертикальной оси, платформа) и ловит рукой, летящий горизонтально со скоростью v = 20 м/с, мяч массой m =0,4 кг. Полёт мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от оси вращения скамьи. Определите, с какой угловой скоростью станет вращаться скамья с человеком, если суммарный момент инерции скамьи и человека относительно оси вращения известен Jz = 6 кг⋅м².

РЕШЕНИЕ: Для системы «человек – скамья Жуковского – мяч» справедлив закон сохранения импульса т.к. относительно оси вращения z сумма моментов действующих внешних сил равна нулю. Момент импульса летящего мяча должен быть равен моменту импульса скамьи, человека с пойманным мячом

З адача 3. На краю горизонтальной арены, имеющей форму диска радиусом R = 2 м и массой m₁ = 240 кг, стоит воин маcсой m₂ = 80 кг. Арена может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей

через её центр. Пренебрегая сопротивлением, определите, с какой угловой скоростью будет двигаться арена, если воин побежит по краю платформы со скоростью v = 10 м/с относительно платформы.

РЕШЕНИЕ:

1. В данном случае относительно оси вращения для системы «арена – воин» будет сохраняться момент импульса, поэтому определим вначале моменты инерции воина и платформы с воином,

которого, кстати, целесообразно принять за материальную точку,

2. Запишем далее закон сохранения момента импульса

ЛЕКЦИЯ № 7