2. Порядок решения задач массового обслуживания

Задачи массового обслуживания обычно решаются в три этапа.

На первом этапе уточняют задачу и выясняют, относится ли она к задачам массового обслуживания. Далее задачу формулируют в терминах массового обслуживания, уточняют систему массового обслуживания и конкретное содержание потока требований и обслуживающих аппаратов. Для решения задачи необходимо знать характеристики входящего потока и обслуживающей системы. Начинается наиболее трудоемкий этап: сбор и обработка статистиче­ских сведений. С этой целью организуются хронометражные наблюдения или обрабатываются отчетные (исполнительные) документы. При обработке результатов обычно исключают время начала и конца смены, когда режим работы меняется (неустановившийся), т.е. считают, что работа происходит в стационарном режиме.

Вопросы сбора и обработки информации изучаются математической статистикой. После проведения хронометражных наблюдений и получения фактических функций распределения устанавливают, каким законам они подчиняются.

Прежде всего проверяют соответствие входящего потока требований пуассоновскому закону, а времени обслуживания - показательному, так как в этих случаях решение задачи осуществляется наиболее просто.

Проверку соответствия фактического распределения теорети­ческому (пуассоновскому, показательному, гамма - распределению, нормальному и др.) осуществляют с помощью специальных крите­риев, называемых критериями согласия. Наиболее распространен критерий согласия Пирсона χ2 (хи-квадрат). При проверке по это­му критерию сначала определяют меру расхождения χ2 фактическо­го распределения от предполагаемого теоретического

где k - количество разрядов, в которые сведены результаты опытов; N - общее количество наблюдений; mi - количество наблюдений в i-м разряде; Рi - теоретическая вероятность (по предполагаемому закону распределения) i-го разряда.

Далее определяется число степеней свободы

где с - число параметров распределения. Для пуассоновского и пока­зательного закона с = 1.

По найденным χ2 и г с помощью специальной таблицы определяют вероятность совпадения предполагаемого закона распределения с теоретическим.

Если эта вероятность весьма мала, гипотеза отвергается.

После установления законов распределения входящего потока требований и времени обслуживания на втором этапе с помощью теории массового обслуживания в зависимости от способа органи­зации обслуживающей системы и входящего потока требований (числа обслуживающих каналов, максимального количества требо­ваний в системе и др.), а также параметров законов распределения входящего потока требований и времени обслуживания определяют основные характеристики системы.

Для оценки функционирования системы массового обслужи­вания используют следующие основные ее характеристики:

Абсолютную пропускную способность системы (количество требований, обслуживаемых системой в единицу времени);

относительную пропускную способность системы (отношение количества обслуживаемых требований к их общему количеству, поступившему в систему);

средний процент необслуженных требований;

среднее время простоя системы из-за отсутствия требований;

среднюю длину очереди;

среднее время ожидания.

Последние два показателя используют для расчета систем мас­сового обслуживания с ожиданием.

На третьем этапе, используя полученные характеристики си­стем массового обслуживания и зная необходимые стоимостные данные, находят оптимум решаемой задачи.

При этом, так как обычно вариантов немного, используется метод их перебора. В более сложных случаях решается задача цело­численного программирования.

Помимо оценки по экономическим показателям выбор вари­анта организации системы массового обслуживания может осущест­вляться по требуемому значению одной из ее характеристик.

Введем в рассмотрение параметр α — коэффициент за­грузки системы или среднее число каналов, которое необ­ходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования:

где λ — среднее число требований, поступающих в едини­цу времени; μ — среднее число требований, удовлетворяе­мых в единицу времени; То6 — среднее время обслужива­ния одним каналом одного требования.

Заметим, что если, а меньше количества каналов обслу­живания, то очередь не может расти безгранично, т. е. число обслуживающих каналов должно быть больше сред­него числа каналов, необходимых для того, чтобы за еди­ницу времени обслужить все поступившие требования.