Розділ 2. Методична розробка з модуля «логіка предикатів»

(В даному розділі використовується матеріал з таких джерел : [2], [3], [4], [5], [14], [16], [17], [18], [19],[21], [27], [29])

2.1. Приклади розв’язання практичних завдань до підрозділів модуля логіки предикатів

2.2.1. Предикати. Логічні операції над предикатами.

Приклад 1. Які з наведених речень є предикатами (для предикатів вказати місність):

1. "х паралельна прямій l (х - довільна пряма на площині);

2. "х є притокою у" (х, у — назви всіх можливих рік);

3. "деякі парні числа діляться на натуральне число у";

4. "всі непарні числа діляться на 2";

5. "х або Україна і Росія" (х — назва країни);

6. (х, у - дійсні числа);

7. (х, у - дійсні числа);

8. "для довільного х 0 існує п, що ху = 1 ".

►а) l-місний предикат, який перетворюється в істинне висловлення на множині всіх прямих, які паралельні до фіксованої прямої l. b) 2- місний предикат, який може перетворюватися або в істинне висловлення (наприклад, Десна є притокою Дніпра), або в хибне (Десна є притокою Волги). с) 1-місний предикат, який перетворюється завжди в істинне висловлення (тотожно істинний), оскільки існують парні числа виду 2у, 4у, 6у, які діляться на y.d) 0-місний предикат, який є хибним висловленням, е), f) Не предикати, оскільки при довільній підстановці замість змінних конкретних значень речення не можуть бути висловленнями.g) 2-місний предикат, який перетворюється в хибне висловлення при будь-яких дійсних х та у (тотожно хибний).h) 0-місний предикат, який є істинним висловленням. ◄

Приклад 2. Знайти множину істинності предикатів:

1. ;

2. ;

3. Р(х) = "відрізок АВ видно з точки х під прямим кутом";

4. Р(х) = "точка х рівновіддалена від точокА і В";

5. .

►а) Множина істинності даного предиката - це множина розв’язків нерівності , яка перетворюється у істинне висловлення лише тоді, коли 1, отже . b) = [-8; 2]. c) Множина істинності - множина точок кола, яке побудоване на відрізку АВ як на діаметрі, крім самих точок А та В.d) Множина істинності - всі точки серединного перпендикуляра для відрізка АВ.е) Множина істинності - всі точки координатної площини, що знаходяться у другому (утворюється еквіваленція двох хибних висловлень) та четвертому (еквіваленція двох істинних висловлень) квадрантах та на координатних осях. ◄

Приклад 3. Прочитати висловлення та визначити, які з них істинні, а які хибні, вважаючи, що всі змінні належать множині дійсних чисел:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

• а) Навішування квантора загальності по х приведе до істинного висловлення, якщо одномісний предикат на множині дійсних чисел тотожно істинний. При довільному висловлення істинне, оскільки предикат

виконуваний (він перетворюється в істинне висловлення при ). Отже, предикат А(х) тотожно істинний, тому висловлення , яке читається так: «Для довільного дійсного х існує дійсне у, що x + y = 3», істинне. b) Висловлення «Існує дійсне у, що його сума з довільним дійсним х дорівнює 3» очевидно хибне. Дійсно, предикат тотожно хибний, бо для довільного предикат спростовний (перетворюється в хибне висловлення, наприклад, при ). с) Висловлення «Якщо сума двох довільних дійсних чисел дорівнює 3, то 2= 3» істинне, оскільки є імплікацією двох хибних висловлень. d) Висловлення «Довільне дійсне число х дорівнює самому собі тоді і тільки тоді, коли воно або більше за 1, або менше за 2» є істинним, бо предикат є тотожно істинним як еквіваленція двох предикатів та"(х = х)", які перетворюються в істинне висловлення при довільних x R. ◄

Приклад 4. Дано предикати А(х) та В(х). Записати реченням висловленняС та В:

1. А(х) ="х-студент", В(х)-"х- склав іспити",

;

2. А(х) ="х: - гриб", В(х)= "х - їстівний",

;

3. А(х)="х - наука", В{х) - ’х - гуманітарна",

.

• а) Висловлення С - частково заперечувальне (О): «Є студенти, які не склали іспити»; D- загальиостверджувальне (A): «Всі студенти склали іспити». b). Висловлення С - частково заперечувальне (О): «Є неїстівні гриби»; D - загальнозаперечувальне (Е): «Всі гриби неїстівні».с) Висловлення С - заперечення загальностверджувального: «Не всі науки гуманітарні», а це за змістом рівносильне твердженню «Існують негуманітарні науки», яке символічно записується як D - частково стверджувальне (I): «Існують гуманітарні науки». ◄

Приклад 5. Записати речення у символічній формі, ввівши доречні у кожному випадку предикати:

1. Мухтар - собака;

2. деякі журналісти були в космосі;

3. якщо число ділиться на 12, то воно ділиться на 2,4 і 6;

d) громадяни Бельгії обов’язково володіють або німецькою, або французькою мовою;

е) деякі студенти здали всі екзамени;

f)кожен студент не здав принаймні один екзамен;

7. кожна людина знає англійську мову, або має друга, який знає англійську мову.

►а) Якщо А(х) ="х - собака" — предикат, визначений на множині всіх тварин, а т — позначення клички Мухтар, то символічний записданого речення: А(т).b) Визначимо на множині всіх людей предикати А(х) ="х — журналіст" та В(х) ="х - був у космосі". Зі змісту речення зрозуміло, що «дослівний» переклад такий: існують люди, які одночасно є журналістами і були у космосі. Тому можна записати: . Зауважимо, що запис не відповідає даному реченню, оскільки перетворюється в істинне висловлення навіть для тих x, які не є журналістами. Якби предикат В(х) був визначений на множині всіх журналістів, то речення можна було б записати коротко: .с) Задамо на множині натуральних чисел предикати А(х) ="х- ділиться на 12", В(х) ="x - ділиться на 12", C(х) ="х - ділиться на 4", D(x) ="х - ділиться на 6”. Оскільки у реченні йдеться про довільне число, то застосуємо квантор загальності: . d) Після введення на множині всіх людей предикатів А(х)="х-громадянин Бельгії", В(х)="х - володіє німецькою",С(х)="х- володіє французькою мовою" дане речення можна символічно записати: .е) Для опису відношень між різними об’єктами (студенти та екзамени) використовуються також і багатомісні предикати. Нехай А(х) =" х — студент", В(у)="у - екзамен", С(х,у)="х здав екзамен у". Тоді дане речення можна перефразувати «існують студенти х, що який би не був екзамену, вони його здали» і записати: . f) Дане речення за змістом протилежне до попереднього, тому використаємо ті самі предикати. Потрібно записати, що «для кожного студента х існує екзамен у і він його не здав»: .g) Введемо предикати А(х) ="х — знає англійську мову" та В(х,у) —"х друг у". Речення «для кожної людини х або вона знає англійську, або існує друг у, що знає англійську» символічно записується: . ◄

Приклад 6. Записати мовою логіки предикатів означення:

1. простого натурального числа;

2. точки локального максимуму функції f(x);

• а) За означенням натуральне число х просте, якщо воно не дорівнює 1 і при довільному розкладі його на добуток натуральних чисел одне з них є саме цс х або 1. Це можна записати:

.Після введення предикатівР(х,у)="х =у" та Q(x,y,z)= "z=xy" цей вираз можна записати: ).b) Точка з області визначення функції f(х) називається точкою локального максимуму, якщо існуєтакий її -окіл, що для всіх точок х з цього околу виконується f(x)<f( ). Це має символічний запис (предикати введіть самостійно):

. ◄

Приклад 7. Нехай x R, а В(х) - предикат, у якому стверджується, що хмає властивість В. Записати наступні речення мовою логіки предикатів:

1. існує хоча б один x Rтакий, що В(х);

2. не більше одного x Rмають властивість В(х);

3. існує один і тільки один x Rтакий, що В(х);

4. існує два різних x Rтаких, що В(х);

е) не більше двох x R мають властивість В(х).

• а) Речення має такий самий зміст, як і речення «Існує x R такий,що В(х)» і має запис .b) Речення має такий зміст: якщо довільні два елементиx R та y Rмають властивість В, то вони рівні. Це має символічний запис: . с) Речення рівносильне кон’юнкції речень з пунктів а) та b) .

d) Потрібно підкреслити, що існують елементиx R та y R, які мають одночасно властивість В і не рівні: .е) Речення має такий зміст: якщо довільні три елементи x R, y R, z Rмають властивість В, то принаймні два з них рівні. Це має символічний запис: .◄