2 Парная регрессия и корреляция
2.1 Краткая теория
Парная регрессия – уравнение связи двух переменных
,
где
-
зависимая переменная (результативный
признак),
-
независимая, объясняющая переменная
(фактор-признак).
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная
регрессия:
.
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
полиномы разных степеней
;равносторонняя гипербола
.
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
степенная
;показательная
;экспоненциальная
Построение уравнения
регрессии сводится к оценке ее
параметров. Для оценки параметров
регрессий, линейных по параметрам,
используют метод
наименьших квадратов (МНК).
МНК позволяет получить такие оценки
параметров, при которых сумма квадратов
отклонений фактических значений
результативного признака
от теоретических
минимальна, т.е.
.
Для линейных и
нелинейных уравнений, приводимых к
линейным, решается следующая система
относительно
и
.
Можно воспользоваться готовыми формулами, вытекающими из этой системы:
,
.
Тесноту связи
изучаемых явлений оценивает линейный
коэффициент
парной корреляции
для линейной
регрессии (
):
,
и индекс корреляции
-
для нелинейной регрессии (
):
.
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
.
Допустимый предел
значений
- не более 8-10%.
Средний коэффициент
эластичности
оценивает
силу влиянии фактора на результат и
показывает, на сколько процентов в
среднем по совокупности изменится
результат
от
своей средней величины при изменении
фактора
на 1% от своего среднего значения:
.
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
,
где
-
общая сумма квадратов отклонений;
-
сумма квадратов отклонений, обусловленная
регрессией («объясненная» или «факторная»);
-
остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент (индекс) детерминации -квадрат коэффициента или индекса корреляции.
F-тест
– оценивание качества уравнения
регрессии состоит в проверке гипотезы
о статистической
незначимости уравнения регрессии и
показателя тесноты связи.
Для этого выполняется сравнение
фактического
и критического (табличного)
значений F-критерия
Фишера.
определяется из соотношения факторной
и остаточной дисперсий, рассчитанный
на одну степень свободы:
,
где
-число
единиц совокупности (наблюдений) ,
-число
параметров при переменных
в уравнении регрессии.
-
это максимально возможное значение
критерия под влиянием случайных факторов
при данных степенях свободы и уровне
значимости
-вероятности отвергнуть нулевую гипотезу
при условии, что она верна.
обычно принимается равным 0,05 или 0,01.
определяется
по таблице и зависит от уровня значимости,
числа степеней свободы
и числа степеней свободы
.
Таблицу для определения
а так же таблицы других используемых
при решении задач статистик можно найти
в [1].
Если
,
то гипотеза о случайной природе
оцениваемых характеристик отклоняется
и признается их статистическая значимость
и надежность. В противном случае гипотеза
не отклоняется и признается статистическая
незначимость, ненадёжность уравнения
регрессии и показателя тесноты связи.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.
Случайные ошибки
показателей
и
определяются по формулам:
,
,
.
Фактические значения t-критерия вычисляются следующим образом:
,
,
.
Критическое
значение t-критерия
определяется по таблице и зависит от
уровню значимости
и числа степеней свободы
,
где
-число
единиц совокупности (наблюдений).
Если
,
то гипотеза
о случайной природе показателей
отклоняется, т.е.
,
и
не случайно отличаются от нуля и
сформировались под влиянием систематически
действующего фактора
.
В противном случае гипотеза
принимается и признается случайная
природа формирования показателей
,
и
.
Для расчета
доверительных интервалов определяем
предельную ошибку
для каждого из показателей:
,
.
Доверительные интервалы рассчитываются по формулам:
,
,
;
,
,
.
Если в границы доверительного интервала попадает нуль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр признается нулевым, статистически ненадёжным, так как он не может одновременно принимать и положительные и отрицательные значения.
Прогнозное
значение
определяется путем подстановки в
уравнение регрессии
соответствующего
(прогнозного) значения
.
Вычисляется средняя
стандартная ошибка прогноза
:
,
где
;
и строится доверительный интервал прогноза:
,
,
,
где
.