5 Временные ряды в эконометрических исследованиях

5.1 Краткая теория

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значения какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда ( ) формируется из трендовой ( ), циклической ( ) и случайной ( ) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент,- аддитивные модели, как произведение - мультипликативными моделями временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: ;

мультипликативная модель: .

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. расчет значений сезонной компоненты ;

3. устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели;

4. аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнение тренда;

5. расчет полученных по модели значений или ;

6. расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

,

где , -коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

,

где , -коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

• линейная ;

• гипербола ;

• экспонента ;

• степенная функция ;

• парабола второго и более высоких порядков .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве зависимой переменной выступает время , а в качестве зависимой переменной- фактические уровни временного ряда . Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например и , и расчет отклонений от трендов: и . Для дальнейшего анализа используются не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

;

если параболический тренд – вторыми разностями:

.

В случае экспоненциального и степенного ряда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид:

.

Параметры и в этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции в остатках используют критерий Дарбина-Уотсона и расчет величины:

, .

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определятся по формуле:

, .

Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением:

.

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

.

Коэффициент при переменной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени без учета лаговых значений фактора . Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

В момент времени воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц; в момент времени воздействие на можно охарактеризовать величиной и т.д. Эти суммы называются промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага воздействие факторной переменной на результат описывается долгосрочным мультипликатором .

Величины

, ( )

называют относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого

и .

Величина среднего лага определяется по формуле средней арифметической взвешенной

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени .

Медианный лаг - это период, в течение, которого с момента времени будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

, где - медианный лаг.

Оценку параметров модели с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

, , .

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

.

Уравнение регрессии примет вид:

,

где , , .

Модели, содержащие в качестве фактора лаговые значения зависимой переменной, называют моделями авторегрессии, например:

.

Как и в модели с распределенным лагом, в этой модели характеризует краткосрочное изменение под воздействием изменения на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

.

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.