Переход от одного базиса к другому

Пусть   —  -мерное векторное пространство над полем   с некоторыми базисами   и  .

Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:

.

Определение 4. Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения

,

называется матрицей перехода⁷⁾ от базиса   к базису  .

Замечание 1. Координаты вектора   относительно базиса   образуют  -й столбец матрицы  .

Предложение 3. Пусть вектор   имеет координаты   в базисе   и координаты   в базисе  . При переходе от базиса   к базису   координаты вектора   в новом базисе выражаются через координаты в старом базисе по формуле:

,

где   — матрица, обратная к  .

Билинейное отображение Определение

Пусть   — ассоциативное коммутативное кольцо,   — (левые)  -модули.¹⁾

Определение 1. Отображение   называется билинейным²⁾, если оно  -линейно по каждому аргументу, то есть

•  для   и 

•  для  ,  , 

•  для   и 

•  для  ,  , 

Пример 1. Рассмотрим  -линейное отображение  , определенное правилом  . Такое отображение является билинейным, что следует из аксиом ассоциативного кольца.

Билинейная форма

Пусть   — ассоциативное коммутативное кольцо,   — (левые)  -модули.

Определение 2. Билинейное отображение   в кольцо   называется билинейной формой³⁾ на  , а также спариванием⁴⁾ между   и  .

Замечание. Как правило рассматривается случай, когда  , при этом говорят о билинейной форме на  .

Определение 3. Если билинейная форма   на модуле   удовлетворяет условию  , то она называется симметрической⁵⁾.

Определение 4. Если билинейная форма   на модуле   удовлетворяет условию  , то она называется кососимметрической⁶⁾.

Матрица билинейной формы

В случае, когда   и   — свободные  -модули, билинейная форма однозначно определяется своими значениями на базисных элементах модулей.

Определение 5. Пусть   и   — конечномерные свободные  -модули с базисами   и  , соответственно. Матрицей билинейной формы⁷⁾   называется матрица

, где  .

Предложение 1. Если элементы модулей   и   определены координатами в выбранных базисах,  ,  , то

.

Векторное пространство Определение

Определение 1. Пусть   — некоторое поле. Абелева группа¹⁾   называется векторным пространством²⁾, или линейным пространством³⁾ над полем  , если задано отображение  , удовлетворяющее условиям:

1.  для всех  ;

2.  для всех  ;

3.  для всех  ;

4.  для всех  .

При этом элементы пространства   называются векторами⁴⁾, а операция   — умножением на скаляр.

Замечание 1. Данное определение можно переформулировать в терминах модулей: левый унитарный модуль   над полем  называется векторным пространством. Кроме того, в некоммутативной алгебре под векторным пространством понимают более широкий класс модулей, сохраняющий все основные свойства векторных пространств в их классическом понимании: левый унитарный модуль   над телом   называется векторным пространством.

Пример 1. Нульмерное векторное пространство   состоит из одного элемента:  .

Пример 2.  -мерное координатное пространство над полем   представляет собой декартово произведение   множителей  . Элементы   записываются в виде векторов-строк  ⁵⁾. Операции сложения и умножения на скаляр определены покоординатно:

, .

Нулевым элементом является вектор  , противоположным для   служит вектор-строка  .

Пример 3. Множество   функций, определенных на отрезке   и интегрируемых на нем по Лебегу, с поточечной операцией сложения  ,   является векторным пространством над полем действительных чисел.

Пример 4. Пусть  . Введем на   операцию   по правилу   и операцию умножения на скаляр   по правилу  . Нетрудно проверить, что   с указанными операциями является векторным пространством над полем  . Нейтральным элементом служит  .