Линейное нормированное пространство Определение

Определение 1. Линейное пространство   над полем   или   называетсянормированным¹⁾, если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу   ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой²⁾ указанного элемента и обозначаемого символом  .

2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

   1. , причем   тогда и только тогда, когда  .

   2.  для любых   и  .

   3. Для любых двух элементов   и   справедливо неравенство треугольника  .

Предложение 1. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента   определить равенством  .

Пример 1. Рассмотрим векторное пространство  . Число   является нормой элемента   в  .

Линейное отображение векторных пространств Определение

Определение 1. Пусть   — векторные пространства над полем  . Отображение   называется линейным¹⁾, если

1. Для всех ;

2. Для всех , .

Пример 1. Нулевое линейное отображение  , заданное правилом   для всех  .

Пример 2. Тождественное линейное отображение   задается формулой   для всех  .

Пример 3. Отображение   векторного пространства   из примера 4 в одномерное вещественное пространство  , является линейным отображением векторных пространств.

Определение 2. Линейное отображение   называется изоморфизмом векторных пространств²⁾, если  биективно.

Предложение 1. Два конечномерных векторных пространства   и   над полем   изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Частные случаи

Определение 3. Линейное отображение   называется линейным оператором³⁾ на  .

Замечание 1. В категорном смысле линейный оператор — это эндоморфизм векторного пространства  . Соответственно, множество всех линейных операторов на   обозначается символом  .

Пример 4. Линейный оператор  , определенный правилом:   для всех   и некоторого фиксированного  . Такой оператор называется гомотетией⁴⁾.

Определение 4. Линейное отображение  ⁵⁾ называется линейной функцией⁶⁾, или линейным функционалом⁷⁾, или линейной формой⁸⁾ на пространстве  .

Свойства линейного отображения

Определение 5. Ядром⁹⁾ линейного отображения   называется множество  .

Определение 6. Образом¹⁰⁾ линейного отображения   называется множество  .

Замечание 2. Как следует из определений,  ,  , то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.

Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения   являются подпространствами векторных пространств   и  , соответственно.

Предложение 3. Пусть   — конечномерное векторное пространство, и   — линейное отображение. Тогда   и   конечномерны и  .

Предложение 4. Пусть   — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение   инъективно тогда и только тогда, когда  .

Следствие 1. Пусть   — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение   сюръективно тогда и только тогда, когда  .

Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства   в векторное пространство   является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:

1. для двух линейных отображений   и   пространства   в пространство   их сумма определена формулой:   для всех  ;

2. для линейного отображения   умножение на скаляр   определено формулой:   для всех  .

Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из   в   обозначается через  .