Тема 6. Отношение отрезков.

Подготовительные задачи.

Задача 1.

На медиане треугольника взята точка , причем

. Найдите отношение, в котором прямая линия, проходящая через точку параллельно стороне , делит сторону .

Решение.

П рямая линия проходит через точку ,

Проведем прямую линию .

По теореме Фалеса

Пусть .

Тогда .

Отрезки и равны. .

Искомое отношение

Ответ:

Задача 2.

Дан треугольник . На продолжении стороны за точку взята точка , причем . Точка - середина стороны .

В каком отношении прямая линия делит сторону ?

Решение.

П роведем линию

- средняя линия треугольника.

Так как равны отрезки

, то

Из подобия треугольников

и

Обозначим , .

Точка делит отрезок на две равные части

Искомое отношение

Ответ: , считая от точки .

Задача 3.

На стороне треугольника и на продолжении стороны за вершину расположены точки и соответственно, причем и .

Прямая линия пересекает сторону в точке .

Найдите отношение .

Решение.

Проведем прямую линию , .

Введем некоторые обозначения:

.

Рассмотрим подобные треугольники

и

Рассмотрим подобные треугольники и

Ответ:

Задача 4.

На сторонах и треугольника расположены точки и , причем и .

Прямая линия пересекает продолжение стороны в точке .

Найдите отношение .

Р ешение.

Проведем прямую линию

Введем обозначения:

Рассмотрим подобные треугольники

и

Рассмотрим подобные треугольники и

Тогда искомое отношение составит

Ответ:

Задача 5.

На сторонах и параллелограмма расположены точки и соответственно, причем .

П рямые линии и пересекаются в точке .

Найдите отношение и .

Решение.

Определим отношение

Введем некоторые обозначения

Проведем линию

Из подобия треугольников

и :

Определим

Рассмотрим подобие треугольников и

,

Определим отношение .

Один из вариантов решения.

Проведем линии и до пересечения в точке

Рассмотрим подобие треугольников и

Определим .

Рассмотрим подобие треугольников

и .

Ответ: ,

Задача 6.

На сторонах и треугольника расположены точки и соответственно, причем .

Прямые линии и пересекаются в точке .

Найдите отношения и .

Р ешение.

Определим отношение

Введем некоторые обозначения

Проведем линию

Треугольники и подобны.

Определим :

Определим :

Рассмотрим подобные треугольники и

По теореме Фалеса ,

Вариант решения

Определим отношение

Рассмотрим подобные треугольники и

,

Выразим длину отрезка через длину отрезка

,

Подставим данное соотношение в предыдущее равенство

,

Искомое отношение

Ответ: , .

Задача 7.

В равнобедренном треугольнике , , на стороне взята точка так, что .

В каком отношении прямая линия делит высоту треугольника , считая от вершины ?

Решение.

Соотношения между длинами отрезков определяется подобием треугольников.

Высота .

Опустим из точки перпендикуляр к основанию треугольника .

.

О снование .

,

Из подобия треугольников

Искомое отношение

Ответ:

Задача 8.

На медиане треугольника взята точка ,

причем .

В каком отношении прямая линия делит сторону .

Р ешение.

Проведем линию .

По условию задачи

Из подобия треугольников

и : ,

Точка лежит на середине стороны .

Линия является средней линией треугольника

Следовательно, .

Определим искомое отношение

Ответ: , считая от точки .

Задача 9.

Точки и расположены на сторонах и треугольника .

Отрезки и пересекаются в точке .

В каком отношении прямая линия делит сторону ,

если и .

Решение.

Задачу можно решить достаточно легко с помощью теоремы Чевы

Докажем теорему Чевы.

Длины отрезков:

Площадь треугольника

Площадь треугольника

Площадь треугольника

Площади и соприкасаются по линии

Площади и соприкасаются по линии

П лощади и соприкасаются по линии

Отношение площадей

Перемножим эти равенства.

Окончательно получим

Теорема доказана.

Покажем на рисунке фрагмент доказательства,

что отношение площадей равно

Для этого на линию соприкосновения

площадей опустим перпендикуляры

Обозначим их, как и

Площади треугольников при равном

основании относятся как длины высот

Прямоугольные треугольники

и подобны.

Из подобия треугольников следует

Задача 10.

В треугольнике известно, что .

В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису ?

Решение.

Биссектрисы пересекаются в одной точке

С войство биссектрисы

Определим отрезки и

Применим метод площадей

Обозначим

Площадь треугольника

Отношение площадей

Так как биссектриса делит угол на равные части, то отношение площадей определим как отношение

Таким образом, искомое отношение определяется как