Тема 12.
Пропорциональные отрезки в окружности.
Задача 1.
Точка внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные и .
Ч
ерез
точку
проведена хорда
,
делящаяся точкой
пополам.
Найдите .
Решение.
Пропорциональность отрезков
Длина хорды
Ответ:
Задача 2.
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке .
И
звестно,
что
.
Найдите .
Решение.
Треугольники
и
подобны.
Вписанные углы, опирающиеся на дугу, равны.
Длина диагонали
Ответ:
Задача 3.
Из точки
,
расположенной вне окружности на
расстоянии
от центра, проведена касательная
и секущая, внутренняя часть которой
вдвое меньше внешней и равна радиусу
окружности. Найдите радиус окружности.
Решение.
Выразим длину касательной через радиус окружности
Теорема о касательной и секущей.
Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Рассмотрим прямоугольный
треугольник
Теорема Пифагора
,
Ответ: 1.
Задача 4.
Через точку
проведены две прямые линии. Одна из них
касается некоторой окружности в точке
,
а вторая пересекает эту окружность в
точках
и
,
причем
.
Найдите
.
Решение.
Возможны два варианта решений
Для рисунка 1.
Для рисунка 2.
Ответ:
Задача 5.
Из точки
проведены два луча, пересекающие данную
окружность: один – в точках
и
,
другой – в точках
и
.
Известно, что
.
Н
айдите
.
Решение.
Ответ:
Задача 6.
Точка
удалена от центра окружности радиуса
на расстояние
.
Прямая линия, проходящая через точку , пересекает окружность в точках и .
Найдите произведение
.
Решение.
Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
Вариант расположения точки вне окружности.
Точка расположена внутри окружности
Произведения отрезков пересекающихся хорд
окружности равны.
Ответ:
Задача 7.
В квадрат
со стороной
вписана окружность, которая касается
стороны
в точке
.
Найдите хорду, соединяющую точки, в
которых окружность пересекается с
прямой линией
.
Р
ешение.
Длина отрезка
Определим длину хорды
Ответ:
Задача 8.
В прямоугольном треугольнике угол прямой, катет равен , радиус вписанной окружности равен . Вписанная окружность касается катета в точке .
Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой линией .
Р
ешение.
Радиус вписанной окружности
Длины отрезков
Определим длину отрезка
Длина хорды
Ответ:
Задача 9.
На боковой стороне равнобедренного треугольника, как на диаметре, построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные и .
Найдите основание треугольника.
Р
ешение.
Центр окружности – точка
Радиус окружности
Точка расположена на середине основания.
Возможны варианты:
или
или
Ответ:
Задача 10.
В окружности с центром
проведены хорды
и
,
пересекающиеся в точке
,
причем
.
Найдите угол
Решение.
Если хорды пересекаются
вне окружности, то произведение
не может быть равно произведению
Из равенства вытекает,
что длина отрезка
,
что невозможно.
Хорды пересекаются внутри окружности
Определим длину отрезка
Произведение отрезков пересекающихся хорд
Так как точка
делит отрезок на две равные части, то в
равнобедренном треугольнике
медиана
является также высотой.
Ответ: .
Тренировочные задачи.
Задача 11.
В окружность вписан четырехугольник , причем - диаметр окружности.
Диагонали и пересекаются в точке .
Известно, что
,
а площадь треугольника
втрое больше площади треугольника
.
Найдите
Решение.
Произведение отрезков пересекающих хорд окружности равны.
Площади треугольников и имеют общее основание .
О
тношение
площадей равно 3.
Определим отрезок
:
Треугольник - прямоугольный,
Вписанный угол опирается на диаметр.
По теореме Пифагора
Искомый отрезок
Ответ:
Задача 12.
Через вершины и треугольника проведена окружность, которая пересекает сторону в точке , а сторону - в точке .
Н
айдите
,
зная, что
Решение.
Для треугольников,
вписанных в окружность
Длина хорды
:
Произведение всей секущей на ее внешнюю часть
для данной окружности постоянно.
Определим длину отрезка
Ответ:
Задача 13.
О
кружность,
построенная на стороне
треугольника
как на диаметре, проходит через середину
стороны
и пересекает в точке
продолжение стороны
за точку
,
причем
.
Найдите площадь
треугольника
,
если
.
Решение.
Треугольник - равнобедренный.
,
,
Свойство секущей:
Площадь треугольника
:
Ответ:
Задача 14.
Каждая из боковых сторон и равнобедренного треугольника разделена на три равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании хорду .
Найдите отношение
площадей треугольников
и
,
если
.
Р
ешение.
Вначале показалось, что задача не имеет решения.
Нет достаточной информации.
Необходимо использовать свойство секущих.
Но, как?
Дошли до основания.
Рассмотрим секущие
и
.
,
Отрезок
,
тогда отрезок
Свойство секущих
Длина хорды
:
Отношение площадей
Ответ:
Задача 15.
Окружность, диаметр
которой равен
,
проходит через соседние вершины
и
прямоугольника
.
Длина касательной, проведенной из точки
к окружности, равна 3,
.
Найдите сторону
.
Решение.
Проведем окружность, чтобы она пересекала прямоугольник в точках и
О
пределим
длину отрезка
Теорема Пифагора
Свойство секущей и касательной
П
роведем
окружность, которая проходит через
точки
и
,
но не пересекает сторону искомого
прямоугольника.
Ответ:
Задача 16.
Окружность проходит
через соседние вершины
и
прямоугольника
.
Длина касательной,
проведенной из точки
к окружности, равна 1,
.
Найдите площадь прямоугольника , если диаметр окружности равен .
Решение.
Окружность пересекает стороны прямоугольника
Т
очки
пересечения
и
,
Свойство секущей и касательной
,
Площадь прямоугольника
Имеется вторая конфигурация.
Окружность не пересекает стороны прямоугольника
Площадь прямоугольника
Ответ:
Задача 17.
Точки
- последовательные вершины прямоугольника.
Окружность проходит через точки
и
,
и касается стороны
в ее середине. Через точку
проведена прямая линия, которая касается
той же окружности в точке
,
а затем пересекает продолжение стороны
в точке
.
Найдите площадь
трапеции
,
если известно, что
.
Решение.
Теорема о секущей и
касательной
,
Д
лины
оснований трапеции
Длины касательных к окружности равны
Длина боковой стороны трапеции
Высота трапеции
Площадь трапеции
Ответ: 210.
Задача 18.
Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного , хорды, равные , если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно .
Р
ешение.
Обозначим
Рассмотрим треугольник
.
Стороны треугольника
Длина отрезка
Рассмотрим треугольник
Определим синус угла
Радиус окружности
Ответ:
Задача 19.
Сторона квадрата равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная , проведенная из вершины к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности.
Решение.
Теорема о касательной и секущей
Треугольник
прямоугольный.
- диаметр окружности
Ответ:
Задача 20.
В прямоугольном
треугольнике
с катетами
через середины сторон
и
проведена окружность, касающаяся катета
.
Найдите длину отрезка гипотенузы
,
который лежит внутри этой окружности.
Р
ешение.
Определим длину гипотенузы треугольника
Точки и лежат на серединах сторон и
- средняя линия треугольника
Точка расположена на середине хорды
Длина касательной
Теорема о касательной и секущей
Ответ:
