4.2. Моделирование дискретных случайных величин.
Теорема 1. Пусть дискретная случайная величина имеет следующую таблицу распределения вероятностей
-
…
…
Последовательность
является выборкой объема
случайной величины
имеющей равномерный закон распределения
на интервале [0;1], и эта выборка получена
в результате независимых испытаний.
Последовательность
формируется по следующему алгоритму:
1) интервал
[0;1] разбивается на
взаимно непересекающихся интервалов
,
где
и
;
2) если
,
то
.
Тогда является выборкой значений дискретной величины .
Доказательство.
Необходимо доказать, что событие
происходит тогда и только тогда когда
происходит событие
.
Пусть
произошло событие
,
но так как
,
следовательно,
произошло и событие
.
Пусть произошло событие , тогда
.
Следовательно, произошло и событие . Теорема доказана.
В
дальнейшем будем обозначать семейство
случайных величин равномерно распределенных
на интервале
как
.
4. 3 Моделирование случайных событий.
4.3.1.
Моделирование отдельного события.
Рассмотрим
событие
,
которое происходит с вероятностью
,
и введем дискретную случайную величину
,
где
индикатор
события
:
-
1
0
Воспользуемся алгоритмом теоремы 1.
Тогда
и
.
Таким образом, генерируется
последовательность
,
являющаяся выборкой случайной величины
и
данная выборка получена в результате
независимых испытаний и в случае когда
, (1)
то полагаем, что в эксперименте событие произошло, а в противном случае не произошло.
4.3.2.
Моделирование полной группы событий.
Рассмотрим
полную группу попарно несовместных
событий
:
и
.
Пусть
и случайная величина
принимает значения равные номеру
наступившего события:
|
1 |
2 |
|
s |
|
|
|
|
|
По алгоритму
теоремы 1 получаем последовательность
,
где
и в зависимости от конкретного значения
полагаем, что в опыте с номером
произошло событие
,
а события
не произошли. Процедуру моделирования
можно построить и используя
последовательность равномерно
распределенных чисел
,
так как
.
И тогда исходом испытания
оказывается событие
,
если
. (2)
Данная
процедура носит название – определение
исхода испытания по жребию в соответствии
с вероятностями
.
4.3.3.
Моделирование двух независимых событий.
Пусть
события
и
независимые и
.
Возможными исходами совместных испытаний
могут быть следующие события
,
с соответствующими вероятностями
.
(3)
Тогда для моделирования совместных испытаний можно использовать два варианта:
-
последовательную проверку условия (1)
используя последовательности
и
,
соответственно для моделирования
событий
и
;
- определения одного из исходов по жребию с соответствующими вероятностями (условия 2 и 3).
4.3.4. Моделирование
двух зависимых событий. Рассмотрим
случайные величины
и
,
которые являются индикаторами событий
и
:
и
.
-
0
1
0
1
Где
События
и
образуют полную группу несовместных
событий.
Введем новую случайную
величину
,
принимающую значения номеров введенных
событий
:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
Применим
алгоритм теоремы 1 для получения случайных
чисел
.
Тогда, если
,
то полагают, что в эксперименте
события
и
не произошли. В случае
,
то полагают, что в эксперименте
событие
не произошло, а событие
произошло. Если
,
то в эксперименте
событие
произошло, а событие
не произошло. И при
,
полагают, что в эксперименте
события
и
произошли.
Рассмотрим
другой вариант моделирования, когда
нам известны вероятности событий
и
,
а также условная вероятность наступления
события
при условии, что
произошло -
.
Из последовательности
извлекаются два очередных числа
и
.
Тогда, рассматривают четыре случая:
- если
и
полагают наступление в
эксперименте события
;
- если
и
полагают наступление события
;
- если
и
полагают, что в
эксперименте произошло события
;
- если
и
то произошло события
.