4.8. Моделирование многомерных случайных величин.

4.8.1. Моделирование мерной случайной точки с независимыми координатами. Если координаты мерной случайной величины независимы, то функция распределения этой случайной величины равна

,

где функция распределения случайной величины . Поэтому каждую величину можно моделировать независимо по теореме 3 пункта 4.6.2:

. (2)

Пример. Случайная точка в декартовой системе координат равномерна распределена в мерном параллелепипеде . Плотность вероятностей точки постоянна в :

Интегрируя по всем переменным, кроме , получим плотность случайной координаты

Тогда, согласно (2) запишем уравнение

,

откуда вытекают формулы для расчета координат случайной точки

.

Таким образом, посредством моделирования случайных величин получают выборку равномерно распределенных чисел на интервале (0;1) и вычисляют координаты точки .

4.8.2. Моделирование мерной случайной точки с произвольными координатами. В общем случае, когда зависимы, их совместную плотность можно представить в виде произведения условных плотностей вероятностей этих величин:

Все условные плотности вероятности выражаются через совместную плотность :

,

,

и т.д.

Тогда условная функция распределения будет представлена формулой

Теорема 6. Пусть независимые случайные величины равномерно распределенные на интервале (0;1). Тогда совокупность случайных величин полученных при последовательном решении уравнений

(3)

имеет совместную плотность вероятностей .

Доказательство. При фиксированных значениях случайную величину можно определить по формуле (5) пункта 4.6.2:

.

Тогда вероятность неравенства будет равна

.

Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка вероятность совместного выполнения неравенств равна

Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим случайную точку которая принимает значения в треугольнике с плотностью .

Совместную плотность для двух переменных можно представить двумя способами

или .

Рассмотрим эти два случая по отдельности. Для первого способа записи имеем

, при ;

, при .

Находим соответствующие этим плотностям функции распределения:

, при ;

, при .

Из формул (3) данного пункта следует

и , где .

Для второго способа записи имеем

, при ;

, при .

Находим соответствующие этим плотностям функции распределения:

, при ;

, при .

Из формул (3) данного пункта следует

и , где .

Так как случайные величины и эквиваленты, то можно заменить на и в итоге получим

и , где .

4.9 Алгоритмы генерирование некоторых случайных величин наиболее часто используемых распределений.

4.9.1. Распределение Бернулли. Если дискретная случайная величина принимает только два значения (например, 0 и 1) с вероятностями и , то говорят, что она имеет распределение Бернулли с параметром . В таком случае вводят обозначение .

Алгоритм генерирования значений данной случайной величины эквивалентен алгоритму моделирования отдельного события, который приведен в пункте 6.3.1.

4.9.2. Биномиальное распределение. Биномиальное распределение вероятностей называется дискретное распределение случайной величины с параметрами и , принимающей целочисленные значения с вероятностями

. Обозначают .

а) Непосредственное моделирование. Биномиальное распределение с параметрами и имеет вид

Применяем теорему 1.

Алгоритм непосредственного моделирования случайной величины :

1. Моделируют случайную величину и в результате получают выборку объема равномерно распределенных чисел на интервале (0;1): .

2. Формируют выборку объема значений случайной величины :

, где , .

б) Прямая реализация схемы Бернулли.

Если , где , то .

Алгоритм моделирования случайной величины использующий реализацию схемы Бернулли:

1. Генерируются серии выборок случайных чисел объема имеющих распределение Бернулли по алгоритму 4.9.1

2. Формируется последовательность случайных чисел, имеющая биномиальное распределение , где .

4.9.3. Геометрическое распределение. Геометрическое распределение – это дискретное распределение случайной величины с параметром , принимающей целочисленные значения с вероятностями . Обозначают . Данное распределение возникает как распределение числа испытаний в схеме Бернулли, предшествующих первому успеху, если вероятность успеха в каждом испытании равна .

а) Непосредственное моделирование.

Если последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть , тогда случайная величина , где

Алгоритм генерирования значений случайной величины :

1. Задаем и .

2. Генерируют значение случайной величины : .

3. Если , то . В противном случае .

4. Если возвращаемся к шагу 2. В противном случае переход к шагу 5.

5. Полученная последовательность является выборкой объема значений случайной величины имеющей геометрическое распределение.

б) Моделирование с помощью показательного распределения. Пусть , тогда

и следовательно, случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром . Поэтому если взять , то будет иметь нужное нам распределение. Следовательно, если и , то . Для построения алгоритма необходимо выполнить последовательность действий примера из пункта 4.6.2.

4.9.4. Моделирование гамма - распределения. Непрерывная случайная величина имеет гамма - распределение с параметрами и , если она имеет функцию плотности вероятностей вида

,

Где гамма-функция Эйлера, для и .

Свойства гамма - функции: 1) 2) . Обозначение .

Частный случай гамма – распределения это распределение Эрланга го порядка, когда целое положительное число. Непрерывная случайная величина имеет распределение Эрланга го порядка с параметрами и , если она имеет функцию плотности вероятностей вида

,

Где , целое число.

Теорема 7. Случайная величина и ее плотность вероятностей равна

.

Тогда , где независимые случайные величины и .

Доказательство. Доказательство проведем по индукции. При получаем и тогда согласно пункта 4.6.2 имеем, что . Пусть утверждение теоремы верно при . Докажем, что оно также верно и для . Обозначим , и , тогда .

Воспользуемся правилом композиции плотностей независимых слагаемых

Воспользуемся индуктивным допущением

Теорема доказана.

Следствие. Пусть независимые случайные величины, . Тогда .

Примечание: Распределение Эрланга используется в теории массового обслуживания, описывая в ряде ситуаций распределение времен обслуживания.

4.9.5. Распределение Вейбулла. Непрерывная случайная величина имеет распределение Вейбулла с параметрами и , если она имеет функцию распределения , где и . Обозначают .

Для построения алгоритма моделирования, очевидно, что проще всего воспользоваться методом обратной функции.

Примечание: Распределение Вейбулла находит применение в статистической теории надежности при описании распределений времени без отказной работы.

4.9.6. Логнормальное распределение. Непрерывная случайная величина имеет логнормальное распределение с параметрами и , если она имеет функцию плотности вероятностей вида

,

где и . Обозначают .

Воспользуемся свойством логнормального распределения – если , то , следовательно .

Алгоритм генерирования значений случайной величины :

1. Генерируют значение случайной величины : . Для этого можно использовать любой из алгоритмов описанных в пункте 4.7.

2. Проводят вычисления значений .

3. Полученная последовательность является выборкой объема значений случайной величины имеющей логнормальное распределение с заданными параметрами.

Примечание: Логнормальное распределение используется в моделях дробления частиц, в моделях роста.

4.9.7. Моделирование многомерного нормального распределения. Функция плотности вероятностей случайной величины многомерного нормального распределения определяется как

,

для любого вектора в мерном вещественном пространстве; вектор средних значений, где ; ковариационная матрица. Многомерное нормальное распределение обозначают как . Матрица является симметричной и положительно определенной, и используя разложение Холецкого ее можно представить в виде , где нижнетреугольная матрица.

Алгоритм моделирования случайной величины .

1. .

2. Генерируется по алгоритму пункта 4.7.1 вектор значений независимых и одинаково распределенных случайных величин .

3. Вычисляют и .

4. Если , то возвращаемся к пункту 2. В противном случае переходим к пункту 5.

5. значений случайной величины .

4.9.8. Моделирование многомерного логнормального распределения. Определим многомерное логнормальное распределение через его отношение к многомерному нормальному распределению: случайная величина имеет логнормальное многомерное распределение, когда случайная величина имеет многомерное нормальное распределение . Тогда случайный вектор многомерного логнормального распределения можно представить как , где . Принятое обозначение

Алгоритм генерирования случайной величины .

1. По алгоритму пункта 4.9.7 генерируем многомерную случайную величину .

2. Возвращаем случайную величину :