§ 3, Некоторые замечания

В этой главе читатель ознакомился с рядом неразреши­мых проблем. Примеры были связаны с несуществующими (парадоксальными) объектами. При этом идея доказатель­ства неразрешимости заключалась в обосновании того, что из факта разрешимости должно вытекать существование невозможного объекта. Можно было бы и еще ука­зать большое число неразрешимых проблем. Мы остановились на нескольких, исследование которых особенно просто.

Из широко известных неразрешимых проблем укажем 10-ю проблему Гильберта, выдвинутую им в числе дру­гих в 1901 г. на Международном математическом конгрес­се в Париже. Она гласит: найти алгоритм, определяющий для любого диофантова уравнения, имеет ли оно целочис­ленное решение. Диофантово уравнение обычно пишут в виде

F(x, y, ...)=0,

где F(х, у, ...) — многочлен с целыми показателями сте­пеней и целыми коэффициентами.

Для частного случая диофантова уравнения

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0

проблема решена. Известно, что всякий целый корень та­кого уравнения является делителем числа а₀. Искомый ал­горитм поэтому заключается в разложении а₀ на простые множители, построении всех делителей числа а₀ и последо­вательной проверке каждого делителя подстановкой его в левую часть. При этом все Целые решения будут найдены.

В общем случае 10-я проблема Гильберта долго остава­лась нерешенной и только в 1970 г. ленинградский матема­тик Ю. В. Матиясевич доказал неразрешимость ее.

Есть некоторые проблемы, которые уже много лет при­влекают внимание математиков, но до сих пор остались не­решенными. Одна из них — проблема Гольдбаха, уже упо­мянутая в § 8 гл. 2, другая — известная великая теорема Ферма. Последняя формулируется так: нет таких целых положительных чисел а, b, с, п (п>2), для которых спра­ведливо равенство

aⁿ+bⁿ=cⁿ.

Эта теорема доказана для многих значений п и проверена для ряда частных случаев. Все проверки ее подтверждают. Тем не менее общего доказательства до сих пор нет.

Хоть и очень коротко, но все же кое-что мы рассказали читателю об исследовании разрешимости проблем. Второе приложение традиционных теорий алгоритмов — обосно­вание математики — осталось непроиллюстрированным. Ни объем, ни характер книги не позволяют этого сделать.

Заметим только, что вполне правомерна точка зрения на дедуктивный метод (см. гл. 3, §1), согласно которой он является не более чем техническим приемом, позволяю­щим систематизировать и компактно описать большое число эмпирических фактов. Сущность этого приема можно видеть в том, что провозглашается некоторое число ут­верждений (их обычно называют аксиомами), от которых не требуется никакой истинности или интуитивной яс­ности и некоторое количество правил вывода, с помощью которых из аксиом можно выводить новые утверждения, называемые теоремами. Совокупность указанных правил вывода представляет собой логику данной дедуктивной теории.

Аксиомы и правила вывода должны быть подобраны так чтобы обеспечивать возможность получения всех ут­верждений, провозглашающих указанные выше эмпириче­ские факты с допустимой степенью точности. Такие утверж­дения являются истинными. То обстоятельство, что в качестве некоторых аксиом были взяты утверждения, отражающие эмпирические факты, а в качестве правил вы­вода — законы формальной логики, обусловлено историче­скими причинами.

Очевидно кроме истинных утверждении с помощью описанного приема в принципе возможно получение и ложных и таких, о которых не известно, истинны они или ложны. Некоторые из последних могут быть проверены и приняты (научный прогноз) или отвергнуты. Другие могут быть принципиально непроверяемыми, хотя воз­можно что из них вытекают проверяемые и даже истинные.

При описанном кодходе к дедуктивному методу вопрос об основаниях математики приобретает совершенно новый смысл. Проблема «с головы ставится на ноги». Основанием дедуктивной теории оказывается не система аксиом и не логика теории а совокупность эмпирических фактов, которую эта теория описывает. Возможность противоречий теряет свой фатальный характер, но возникает вопрос об определении границ, в которых теория не содержит про­тиворечий и не содержит ложных проверяемых утверж­дений Одна и та же совокупность эмпирических фактов может быть описана различными дедуктивными теориями. Расширение совокупности эмпирических фактов может приводить к необходимости изменения системы аксиом или системы правил вывода, или и того и другого.

Аргументом в пользу описанного понимания дедуктив­ного метода является присутствие пятой аксиомы в системе аксиом Евклида¹⁶, которая, конечно, не могла казаться Евклиду очевидной истиной, но была удобна при доказа­тельстве таких теорем, легко подтверждающихся на прак­тике, как утверждение о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым (углам). Оценивая все ранее упомянутые попытки обоснования математики с по­следней точки зрения, можно прийти к выводу об их без­надежности.

Одновременно нужно признать, что все течения, воз­никшие в математике после обнаружения антиномий в теории множеств, что-то дали новое математике в целом, чем-то способствовали формированию ее идей.