Нормаль к кривой

N

P

P

N

r(t)

R

O

O

Теорема сохраняется (см. выше)

а) в параметрической форме:

б) в векторно-параметрической форме:

в) явное задание кривой: из касательной

г) неявное задание кривой:

или

Таблица

Способ задания	Уравнение касательной	Уравнение нормали
Параметрический: х = х(t) y = y(t)
Явный: y = f(x)
Неявный: F(x,y) =0

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к линии:

в т. (1; 2)

Подкасательная и поднормаль

y P₁

P

y=f(x)

P

T

y

^’(x)

P

y

M

x

L

x

Def (подкасательной). Направленный отрезок, представляющий собой проекцию на ось ОХ отрезка касательной заключенный между точкой касания и точкой пересечения касательной с осью ОХ.

Def (поднормали). Направленный отрезок, представляющий собой проекцию на ось ОХ отрезка нормали заключенный между точкой касания и точкой пересечения нормали с осью ОХ.

Замечание. PT – длина касательной, PL – длина нормали

Задача. Найти кривые, для которых нормаль в её точке одинакова и равна k.

Решение: – парабола

Длина дуги

B

A_i+1

+1

A_i

(t+ )

O

A

Пусть задана гладкая кривая ℒ без особых точек.

Пусть кривая ℒ задана векторно-параметрически: r = r(t) ( C(T)), где Т = (t₁; t₂).

Выберем разбиение дуги АВ т. А_i , , где А₀ = А и А_n = В, тогда и

Так как кривая дифференцируема (гладкая без особых точек), то

Плоская кривая

В других случаях, когда кривая ℒ задана:

а) явно: y = f(x),

б) параметрически: :

в) в полярных координатах

.

Е стественная параметризация кривой

M

r(t)

A

Ранее получили, что – длина дуги кривой. поэтому введенная функция монотонно-возрастающая и её можно взять в качестве параметра, задающего уравнения кривой линии. Действительно обратная к функция (в силу монотонности), т.е. t = t(s) и тогда . Такая параметризация кривой называется натуральной или естественной.

Замечание. В отличии от обычной параметризации производную радиус-функции в естественной параметризации будем обозначать

Её важное свойство: .

□ Из формулы длины дуги получим: , тогда

Кривизна кривой

M

P

O

Одной из основных числовых характеристик кривой является кривизна, показывающая на сколько кривая отклоняется от прямой линии.

Рассмотрим угол между касательными в т. Р(r(t)) и в т. М( - угол смежности . (Если касательная поворачивается против часовой стрелки, то угол смежности положительный, а по часовой стрелке - отрицательный).

Средней кривизной в т. Р считаем: и .

Формулы кривизны

A

M

B

A

H

P

P=M

B

r(s)

Учитывая, что при общей параметризации s = s(t), , получаем .

Вернемся к натуральной параметризации кривой

Соединим и в одну точку. - равнобедренный. Проведем биссектрису РН.

Получаем:

Замечание. Т.к. , то

Для кривой в общей параметризации: r = r(t).

Пересчитаем производные:

Различные формулы кривизны плоской кривой.

В координатах: r(s) = (x(s), y(s))

Векторно-параметрический способ задания кривой: , . Тогда .

Теорема. Дважды непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек имеет в каждой точке определенную кривизну k.

Эта кривизна определяется по формуле: в естественной параметризации кривой или (*) в общей параметризации кривой.

В частности для плоской кривой:

а) если кривая задана параметрически: ,

Получим формулу вычисления кривизны кривой из уравнения (*) для трехмерного случая:

,

(*)

Тогда в двухмерном случае будет:

б) кривая задана явно: y = f(x). Перейдем к параметрическому способу задания: х = t, y = f(t)

в) кривая задана неявно: F(x,y) =0, у = у(х), F(х, у(х))=0

г) кривая задана в полярных координатах:

,

Вектор кривизны. Вектор ,будем называть вектором кривизны. Его длина ,

Единичный вектор – называется главной нормалью ( ).

З нак кривизны. Кривизна по определению неотрицательна. Для плоских кривых можно определить знак.