С b опровождающий трехгранник. Формулы Френе. Кручение
n
2. Уравнение нормальной плоскости
b
R(t)
R(t)
R(t)
норм
n
r(t)
Def. Множество всех нормалей проведенных к пространственной кривой в рассматриваемой точке и образуют нормальную плоскость.
Замечание. В качестве вектора нормали выбирают вектор касательной кривой, т.е. вектор , тогда:
-
уравнение нормальной плоскости
Если
кривая задана неявно (как пересечение
поверхностей
и
,
то вектор
и
вектора
- компланарные
уравнение
нормальной плоскости.
3. Соприкасающаяся плоскость криво
ℒ
Пусть
т.
возьмем на ней еще точки
расположенные по разные стороны от т.
проведем через них плоскость.
Def.
Предельное положение построенной
плоскости, проходящей через т.
когда
две из них
стремятся к третьей т.
,
и будем называть соприкасающейся
плоскостью кривой в т.
Теорема.
Пусть r
= r(t)
– дважды непрерывно дифференцируемая
кривая. Если в т.
вектора
- неколлинеарны (
),
то в этой точке существует соприкасающаяся
плоскость, и она проходит через вектора
Замечание 1. Точки кривой, в которых векторы - коллинеарны, называются точками распрямления кривой.
Замечание 2. Вектор нормали, лежащий в соприкасающейся плоскости, называется главным вектором нормали кривой. Орт этого вектора
.
Замечание
3.
Из теоремы следует, что вектора
- коллинеарные, поэтому
1)
или
векторное уравнение плоскости или
2)
уравнение соприкасаящейся плоскости
в координатном виде.
Так
как
принадлежат
соприкасающейся плоскости , то
соприкасающуюся плоскость назавают
плоскостью ускорения:
а)
вектора
принадлежат соприкасающейся плоскости,
т.к. плоскость проходит через касательную
прямую;
б)
принадлежит соприкасающейся плоскости,
т.е. плоскость проходит через главный
вектор нормали;
в)
т.е. по нормале разложения вектора
лежат в одной плоскости.
Главная нормаль. Бинормаль и её уравнение. Спрямляющая плоскость
Def 1. Плоскость, проходящая через касательную к кривой в т. и ортогональная соприкасающейся плоскости, называется спрямляющей плоскостью.
Def 2. Бинормалью называется прямая, которая получается при пересечении спрямляющей плоскости нормальной плоскостью.
З
амечание.
Из определений следует, что вектор
бинормали
- ортогонален касательному вектору
(т.к. спрямляющая плоскость перпендикулярна
касательной) и вектору главной нормали
( т.к. вектор главной нормали принадлежит
соприкасающейся плоскости), т.е.
У
B
равнение бинормали
r
R
Вектор
(т.к. в
соприкасающейся плоскости)
Теперь можем записать уравнение бинормали в каноническом виде:
или
Уравнение главной нормали
В
качестве направляющего вектора главной
нормали можно выбрать вектор равный
,
тогда получим следующее уравнение:
Уравнение спрямляющей плоскости
Для спрямляющей плоскости вектором нормали является направляющий вектор главной нормали, поэтому получим следующее уравнение:
В
b
ыпишем теперь натуральную систему координат (орты сопровождающего трехгранника – триэдраn
