2. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ - n₂ раз и т.д., а n_i – объем выборки. Наблюдаемые значения х_I называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике - соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

Например. Пусть объем выборки n = 20 и

xi	2	6	12
ni	3	10	7

Найдем относительные частоты:

Т огда распределение относительных частот:

xi	2	6	12
Wi	0,15	0,50	0,35

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0,35 = 1

3. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, n₁), (х₂, n₂),…., (x_k, n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х_i, W_i), (x₂, W₂),……, (x_k, W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты W_i. Точки (х_i, W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Для примера приведем полигон относительных частот:

X	1,5	3,5	5,5	7,5
W	0,1	0,2	0,4	0,3

Если исследуемый признак непрерывен, то обычно строят гистограмму, для чего интервал всех наблюдаемых значений признака разбивается на несколько частичных интервалов длиной h и для каждого частичного интервала находят n_i – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению (плотности частоты).

Для построения гистограмм частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

П лощадь i-го частичного прямоугольника равна – сумме частот вариант i-го интервала, следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

На рисунке приведен пример гистограммы частот распределения.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотности относительной частоты).

Для построения гистограмм относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = - относительной частоте вариант, попавших в i – й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.