6. Дополнительные характеристики вариационного ряда

Кроме выборочных (или генеральных) средней и дисперсии используются и другие характеристики. Перечислим основные из них, например, для ряда

хi	1	4	7	9	11
ni	5	1	20	6	8

Модой М₀ называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Для примера М₀ =7.

Медианой m_е называют варианту, которая делит вариационный ряд на две равные по числу вариант части. Для примера m_е = 7.

Размахом вариации R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R=X_max - X_min.

Для примера R = 11 - 1=10. Размах – простейшая характеристика рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации V называется отношение выборочного стандарта к выборочной средней (обычно выражается в процентах):

Этот коэффициент служит для сравнения величин рассеивания по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации больше.

По аналогии с теоретическим моментами в теории вероятностей вводятся эмпирические моменты для оценки вариационных рядов.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее значение k-ых степеней разностей x_i - C:

Здесь х₁, х₂, …, х_t – наблюдаемые варианты, n₁, n₂, …,n_t – частоты вариант, n = n₁ + n₂ + …+ n_t – объем выборки, С – произвольное число (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С = 0:

В частности, т.е. эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней.

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С =

В частности,

т.е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Центральные эмпирические моменты можно выразить через обычные. В практике статистических расчетов встречаются:

7. Примеры решения задач

Проиллюстрируем на типовых примерах технику статистических расчетов.

1. Задано распределение частот выборки:

хi	2	6	12	15
ni	3	10	7	5

Составить распределение относительных частот.

Определим сначала объем выборки:

n = 3+10+7+5 =25.

Найдем относительные частоты по формуле

Следовательно,

хi	2	6	12	15
wi	0,12	0,40	0,28	0,25

Контроль: 0,12+0,40+0,28+0,25 = 1.

2. По результатам примера 6.1 построить полигон относительных частот. Отобразив на плоскости точки с координатами (х_i, w_i) и соединив их отрезками, получим полигон частот:

3. Построить гистограмму по следующему распределению:

№ интервал	Интервал длиной h = 5	Сумма частот вариант
1	5 - 10	4
2	10 - 15	6
3	15 - 20	16
4	20 - 25	36
5	25 - 30	24
6	30 - 35	10
7	35 - 40	4

Прежде всего, определим объем выборки:

n = 4 + 6 + 16 + 36 + 24 + 10 + 4 = 100.

По известным суммам частот вариант рассчитаем плотность частоты по интервалам:

№ интервала	Плотность частоты
1	0,2
2	1,2
3	3,2
4	7,2
5	4,8
6	2,0
7	0,8

Изобразим полученный результат:

4. Найти статистические оценки генеральной совокупности, заданной следующим вариационным рядом:

Варианта хi	2	4	5	6
Частота Ni	8	9	10	3

Определим объем совокупности:

Найдем генеральную среднюю:

Для вычисления генеральной дисперсии используем формулу Определим среднюю квадратов:

Таким образом, D_Г = 17,8 – 4² = 1,8.

Генеральный стандарт:

Для практических задач использованных расчетов уже достаточно для решения задачи. Однако приведем еще некоторые характеристики:

Мода М₀: наибольшая частота М₀ = 5

Медиана m_е: вариационный ряд делится напополам в точке m_е = 4,5.

Размах вариации R: в примере х_max = 6; x_min = 2, поэтому R = 6-2 = 4.

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка

хi	1	2	3	4	5
ni	92	94	103	105	106

Найти статистические характеристики выборки.

Определим объем выборки: n = 92+94+103+105+106 = 500.

Выборочная средняя:

Определим среднюю квадратов:

Выборочная дисперсия:

Выборочный стандарт:

Как известно, выборочная дисперсия является смещенной оценкой вариационного ряда. Получим несмещенную оценку, т.е. исправленную дисперсию:

Соответственно, исправленный стандарт: