Теоретические сведения

Критерий Розенбаума

Критерий Розенбаума позволяет определить степень различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного.

Ограничения:

1. В каждой из выборок должно быть более 10 наблюдений. Объёмы выборок должны примерно совпадать. Воспользоваться правилом:

• если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между n₁ и n₂ не должна быть больше 10 наблюдений;

• если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между n₁ и n₂ не должна быть больше 20 наблюдений;

• если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допускается, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5–2 раза.

2. Диапазоны разброса значений должны не совпадать между собой.

Гипотезы:

H₀: Уровень признака в первой выборке не превышает уровня признака во второй выборке.

H₁: Уровень признака в первой выборке превышает уровень признака во выборке.

Алгоритм проверки гипотезы с помощью критерия Q-Розенбаума

1. Найти максимальный и минимальный элементы в каждой выборке.

2. Выборку, значения в которой выше, принять за первую, а выборку, значения которой ниже, – за вторую.

3. Подсчитать количество значений признака в первой выборке, которые выше максимального значения второй выборки. Обозначить полученную величину – S₁.

4. Подсчитать количество значений во второй выборке, которые ниже минимального значения первой выборки. Обозначить полученную величину – S₂.

5. Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Q_эмп=S₁+S₂ (чем больше расхождения между выборками, тем больше величина Q_эмп).

6. Определить критические значения Q_1кр и Q_2кр, которые отвечают уровням значимости в 0,05 и 0,01, по таблице приложения А для данных n₁ и n₂ (при n_1, n₂>26 сопоставить полученное эмпирическое значение с Q_кр=8).

7. Расположить эмпирическое значение критерия Q_эмп и критические значения Q_1кр и Q_2кр на оси значимости.

8. Если Q_эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н₀ об отсутствии различий. Если Q_эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ о наличии различий. Если Q_эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

Критерий Манна-Уитни

Критерий Манна-Уитни позволяет определить степень различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака.

Ограничения:

Диапазоны разброса значений должны не совпадать между собой.

Гипотезы:

H₀: Уровень признака в первой выборке не превышает уровня признака во второй выборке.

H₁: Уровень признака в первой выборке превышает уровень признака во выборке.

Алгоритм проверки гипотезы с помощью критерия U-Манна-Уитни

1. Упорядочить значения признака отдельно в каждой выборке по степени возрастания (или убывания).

2. Выборку, значения в которой выше, принять за первую, а выборку, значения которой ниже, – за вторую.

3. Упорядочить значения признака обеих выборок вместе по степени возрастания (или убывания).

4. Проранжировать значения признака в объединенной выборке (всего рангов должно получиться n₁+n₂).

5. Разбить объединенную выборку на две первоначальные выборки.

6. Подсчитать сумму рангов отдельно по каждой выборке.

7. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

8. Определить большую из двух ранговых сумм.

9. Вычислить значение U_эмп по формуле (4.1):

(4.1),

где n₁ – количество испытуемых в первой выборке;

n₂ – количество испытуемых во второй выборке;

T_x – большая из двух ранговых сумм;

n_x – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

10. Определить критические значения U_1кр и U_2кр, которые отвечают уровням значимости в 0,05 и 0,01, по таблице приложения Б для данных n₁ и n₂ (при n_1, n₂>26 сопоставить полученное эмпирическое значение с U_кр=8).

11. Расположить эмпирическое значение критерия U_эмп и критические значения U_1кр и U_2кр на оси значимости.

12. Если U_эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н₀ об отсутствии различий. Если U_эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ о наличии различий. Если U_эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

Критерий Крускала-Уолиса

Критерий Крускала-Уолиса предназначен для оценки различий одновременно между несколькими (более двух) выборками по уровню какого-либо признака.

Исходные предположения для статистической проверки: все выборки извлекаются из разных генеральных совокупностей.

Ограничения:

• диапазоны разброса значений признака в двух выборках не должны совпадать между собой;

• в каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений.

Гипотезы:

Н₀: Между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.;

Н₁: Между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

Алгоритм проверки гипотезы с помощью критерия Н-Крускала-Уоллеса

1. Отметить элементы каждой выборки определенным цветом.

2. Объединить все выборки в Ряд.

3. Упорядочить Ряд в порядке возрастания.

4. Проранжировать значения Ряда, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов должно получится n₁+n₂+…+ n_с. Обязательно проверить ранговую сумму!!!

5. Разбить Ряд на исходные выборки, ориентируясь на цветные обозначения.

6. Подсчитать сумму рангов отдельно для каждой выборки. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

7. Определить значение Нэмп по формуле (4.2).

(4.2)

где N – общее количество испытуемых в объединенной выборке;

– количество испытуемых в j-той группе;

– суммы рангов по каждой группе.

8. Определить критические значения Н:

– при с=3, n₁,n₂,n₃ ≤5 по таблицам критических значений Н (приложение В).

– при с>3, n₁,n₂,n₃ ≤5 по таблицам критических значений χ² (приложение Г).

9. Принять решение:

– если Н_эмп ≥Н_кp (р≤0,05): Н₀ отвергается.

– если Н_эмп ≤χ²_кp (р≤0,05): Н₀ отвергается.

S-критерий тенденций Джонкира

Критерий тенденции Джонкира предназначен для выявления тенденций изменения признака при переходе от выборки к выборке при сопоставлении трех и более выборок.

Ограничения критерия S

1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть одинаковое число наблюдений. Если число наблюдений неодинаково, то придется искусственно уравнивать выборки, утрачивая при этом часть полученных наблюдений.

2. Нижний порог: не менее 3 выборок и не менее 2 наблюдений в каждой выборке.

3. Верхний порог в существующих таблицах: не более 6 выборок и не более 10 наблюдений в каждой выборке.

Гипотезы:

H₀: Тенденция возрастания значений признака при переходе от выборки к выборке является случайной.

H₁: Тенденция возрастания значений признака при переходе от выборки к выборке не является случайной.

Алгоритм проверки гипотезы с помощью S-критерия тенденций Джонкира

1. Уравнять ряды, ориентируясь на количество наблюдений в меньшем из них.

2. Расположить значения Ряда 1 в порядке возрастания признака и внести в столбец Значения для Ряда 1, затем проделать то же самое для Ряда 2 … для Ряда с.

3. Для каждого значения Ряда 1 подсчитать количество превышающих его значений в Ряде 2, … Ряде с. Полученные значения записать в столбец S_i для Ряда 1.

4. Вычислить суммы по столбцам S_i в каждом Ряде.

5. Подсчитать общую сумму, просуммировав все суммы по столбцам – это двойная сумма в формуле.

6. Вычислить В по формуле (4.4):

(4.3)

7. Определить S_эмп по формуле (4.3).

(4.3)

8. Определить критические значения S по таблицам для данного количества групп (с) и количества значений в каждой группе (n).

9. Если S_эмп ≥S_кp (р≤0,01): Н₀ отвергается.

Пример 1

У студентов первого и четвертого курсов был исследован уровень самооценки. Проверить гипотезу о наличии различий в самооценке студентов 1-го и 4-го курсов. Результаты тестирования приведены в таблице.

№	Курс 1	Курс 4
1	0,12	0,84
2	0,47	0,63
3	0,38	0,23
4	0,13	0,95
5	0,19	0,98
6	0,63	0,73
7	0,56	0,95
8	0,55	0,96
9	0,58	0,95
10	0,45	0,54
11	0,35	0,28
12	0,73	0,23
13	0,15
14	0,35

Решение:

1. Определим максимальные и минимальные значения каждой выборки, с помощью статистических функций MAX и MIN.

Рис. 1

Соответственно в ячейках В16 и В17 находятся формулы: =MAX(B2:B15) и =MIN(B2:B15). Аналогично вычислены максимальный и минимальный значения во второй выборке (Курс 4). Если сравнить полученные значения, то явно видно, что у студентов 4 курса показатели самооценки выше, чем у студентов 1 курса. 4 курс это первая выборка (выделена зеленым цветом), 1 курс – 2 выборка (выделена – желтым). Объем первой выборки n₁=12 и n₂=14.

2. Сформулируем гипотезы:

Н₀: Студенты 4 курса не превосходят по показателям самооценки студентов 1 курса;

Н₁: Студенты 4 курса превосходят по показателям самооценки студентов 1 курса.

3. Максимальное значение второй выборки – 0,73 и количество значений больших него в первой выборке (выделена зеленым цветом) равно 6, поэтому S₁=6. S₁ можно найти с помощью математической функции =COUNTIF(C2:C13;">0,73")

4. Минимальное значение первой выборки – 0,23 и количество значений меньших него во второй выборке (выделена желтым цветом) равно 4, поэтому S₂=4. S₂ можно найти с помощью математической функции =COUNTIF(В2:В15;"<0,23")

5. Вычислим эмпирическое значение критерия Розенбаума: Q_эмп=S₁+S₂=6+4=10.

6. По таблицам критических значений критерия Q-Розенбаума (приложение А) для уровней значимости и и n₂=14, n₁=12: Q_1кр=7 и Q_2кр=9. Или

7. Построим ось значимости:

8. Q_эмп > Q_{кр ,} как для p≤ 0,05, так и для p≤ 0,01, поэтому H₀ отклоняется и принимается H₁.

Вывод: Согласно критерию Розенбаума можно утверждать, что студенты 4 курса превосходят студентов 1 курса по уровню самооценки.

Пример 2

В задаче примера 2 провести проверку гипотезы по критерию Манна-Уитни.

Решение:

1. Для того чтобы различать две выборки выполним заливку ячеек двух столбцов разными цветами и объединим две выборки в одну.

2. Определим ранги значений в объединенном ряде с помощью формулы:

=COUNT(G$2:G$27)+1-((COUNT(G$2:G$27)+1-RANK(G2;G$2:G$27;1)-RANK(G2;G$2:G$27;0))/2+RANK(G2;G$2:G$27))

Рис. 2

3. Разделим объединенную выборку на две, используя формулы (см. рис. 3 строку формул):

Рис. 3

4. Найдем суммы рангов по каждому ряду. Это значения 142 и 209.

Рис. 4

У студентов 4 курса показатели самооценки выше, чем у студентов 1 курса, поскольку на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 209. 4 курс это первая выборка, 1 курс – 2 выборка. Объем первой выборки n₁=12 и n₂=14; объем объединенной выборки n= n₁+n₂=26. n_х=12.

5. Сформулируем гипотезы:

Н₀: Студенты 4 курса не превосходят по показателям самооценки студентов 1 курса;

Н₁: Студенты 4 курса превосходят по показателям самооценки студентов 1 курса.

7. Общая сумма рангов: 142+209=351 совпадает с расчетной .

8. Вычислили эмпирическое значение критерия: .

9. По таблицам критических значений критерия U-Манна-Уитни (приложение Б) для уровней значимости и и n₂=14, n₁=12: U_1кр=51 и U_2кр=38. Или

7. Построим ось значимости:

5. U_эмп попало в зону значимости, поэтому H₀ отклоняется и принимается H₁.

Вывод: Согласно критерию Манна-Уитни можно утверждать, что студенты 4 курса превосходят студентов 1 курса по уровню самооценки.

Пример 3

Была проведена выборка студентов из первого, второго и третьего курсов в количестве шести, восьми и семи человек соответственно для определения у них интегральной самооценки личности. Количественные результаты исследования представлены в таблице.

№	Курс 1	Курс 2	Курс 3
1	61	43	44
2	46	49	51
3	55	46	28
4	47	31	43
5	36	42	38
6	26	59	35
7		37	47
8		41

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню интегральной самооценки личности?

Решение:

1. Для того чтобы различать три выборки выполним заливку ячеек трех столбцов разными цветами и объединим три выборки в одну.

2. Определим ранги значений в объединенном ряде с помощью формулы:

=COUNT($I$2:$I$22)+1-((COUNT($I$2:$I$22)+1-RANK(I2;$I$2:$I$22;1)-RANK(I2;$I$2:$I$22;0))/2+RANK(I2;$I$2:$I$22))

Рис. 5

3. Разделим объединенную выборку на три, используя формулы (см. рис. 6 строку формул):

Рис. 6

4. Для каждого ряда найдем количество элементов в нем и суммы рангов. Для этого воспользуемся функциями COUNT и SUM (в Excel СЧЁТ и СУММ): Для ряда Курс 1 количество вычисляет формула (в ячейке Е10) =COUNT(E2:E9), а сумму (в ячейке Е11) – =SUM(E2:E9)

5. Вычислим относительные квадраты рангов , чему соответствует формула в ячейке Е12: =E11^2/E10.

6. Объем объединенной выборки в Е13 определяется по формуле:

=SUM(E10:G10).

7. Значение суммы относительных квадратов рангов также вычисляется с помощью функции SUM: =SUM(E12:G12).

8. Для вычисления эмпирического значения критерия по формуле (4.2) построена формула (см. строку формул на рис. 7)

Рис. 7

Рис. 8

Эмпирическое значение критерия Крускалла-Уоллеся также можно вычислить вручную:

.

Так как количество респондентов в группах больше 5, необходимо сопоставлять полученное эмпирическое значение Н_эмп с критическими значениями χ².

Найдем количество степеней свободы df для с=3: df=с – 1=3–1=2.

Определим критические значения по таблице приложения Г для df=2:

Н_эмп находиться в зоне незначимости, поэтому принимается гипотеза H₀. Ни одна из групп не превосходит другие по уровню интегральной самооценки личности.

Пример 4

На основе данных предыдущего примера сопоставить выборки по уровню интегральной самооценки личности.

Решение:

1. Поскольку выборки разные по объемам, мы уменьшили их до 6 элементов, отбросив последние 2 в выборке Курс 2 и 1 последний в выборке Курс 3. Таким образам получены данные:

№	Курс 1	Курс 2	Курс 3
1	61	43	44
2	46	49	51
3	55	46	28
4	47	31	43
5	36	42	38
6	26	59	35

Найдем суммы значений по столбцам с целью определения тенденции изменения показателя интегральной самооценки личности:

Рис. 9

2. Как видно из рис. 9 наблюдается тенденция к уменьшению этого показателя при переходе от выборки к выборки.

3. Перераспределим эти выборки в порядке возрастания сумм (рис. 10):

Рис. 10

4. Сформулируем гипотезы:

Н₀: Тенденция увеличения значений показателя интегральной самооценки личности при переходе от группы студентов с низкими показателями к группе с более высокими показателями является случайной.

Н₁: Тенденция увеличения значений показателя интегральной самооценки личности при переходе от группы студентов с низкими показателями к группе с более высокими показателями не является случайной.

5. Для каждого индивидуального значения левого столбца посчитаем количество значений, которые больше него и внесем эти частоты в столбец S₁ Аналогично определим значения для столбца S₂ сравнивая элементы второго ряда с элементами 3-го (рис. 11).

6. Найдем суммы по столбцам S₁ и S₂.

Рис. 11

7. Вычислим значение суммы с помощью функции SUM.

8. Вычислим выражение : =(B10*(B10-1))/2*B9^2

9. Вычислим эмпирическое значение критерия по формуле (4.3): =2*B11-B12. Эмпирическое значения критерия тенденций Джонкира равно 54.

Рис. 12

10. Найдем критические значения по таблице приложения Д для и :

S_эмп находиться в зоне находиться в зоне неопределенности, есть вероятность принятия ложного решения (необходимо увеличить выборку или воспользоваться другим критерием).